مسابقة دكتوراه 2016 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila

التمرين 1

Périodicité 2π d'une solution de x''+x=f(t)

#linear-ode#periodic-solution#resolvent#forced-oscillator

Soit $f$ une fonction continue réelle. Considérons l'équation différentielle scalaire $x''+x=f(t).$

Écrire cette équation sous forme d'une équation différentielle affine du premier ordre.
Calculer la résolvante du système linéaire associé.
Exprimer $x(t)$ et $x'(t)$ en fonction de leurs valeurs en $0$ et de $f$ .
On suppose que $f$ est $2\pi$ -périodique et que $\int_0^{2\pi}\sin(\theta)f(\theta)d\theta=\int_0^{2\pi}\cos(\theta)f(\theta)d\theta=0.$ Montrer que $x(t)$ , solution de l'équation, est $2\pi$ -périodique.

◀الحل

On pose $X=(x,x')^T$ . Alors $X'(t)=AX(t)+F(t),\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad F(t)=\binom{0}{f(t)}.$ La résolvante est $R(t)=e^{tA}=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}.$ Par variation des constantes, $X(t)=R(t)X(0)+\int_0^tR(t-s)F(s)ds,$ donc $x(t)=x(0)\cos t+x'(0)\sin t+\int_0^t\sin(t-s)f(s)ds,$ $x'(t)=-x(0)\sin t+x'(0)\cos t+\int_0^t\cos(t-s)f(s)ds.$ En prenant $t=2\pi$ , on obtient $x(2\pi)-x(0)=\int_0^{2\pi}\sin(2\pi-s)f(s)ds=-\int_0^{2\pi}\sin s\,f(s)ds=0,$ $x'(2\pi)-x'(0)=\int_0^{2\pi}\cos(2\pi-s)f(s)ds=\int_0^{2\pi}\cos s\,f(s)ds=0.$ Les données à $0$ et $2\pi$ coïncident ; par unicité, la solution est $2\pi$ -périodique.

التمرين 2

Stabilité du système x'=y, y'=-ay(1-x²)-x²

#lyapunov-function#asymptotic-stability#nonlinear-system#energy-method

On considère le système différentiel $\begin{cases}x'(t)=y(t),\\ y'(t)=-ay(t)(1-x^2(t))-x^3(t),\end{cases}$ où $a>0$ est un paramètre fixé.

Le système linéarisé autour de $(0,0)$ associé à ce système est-il stable ? est-il asymptotiquement stable en $(0,0)$ ?
Soit $(x(t),y(t))$ une solution de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$ . On pose $F(x,y)=\frac{y^2}{2}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{6}.$ (a) Montrer que la fonction $t\mapsto F(x(t),y(t))$ est décroissante. (b) Montrer que pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $\delta>0$ tel que si $\|(x(0),y(0))\|<\delta$ alors $\|(x(t),y(t))\|<\varepsilon$ pour tout $t\ge0$ . (c) Conclure.

◀الحل

Le linéarisé en $(0,0)$ est $\begin{cases}x'=y,\\ y'=-ay,\end{cases}$ car les termes d'ordre supérieur s'annulent. Sa matrice est $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&-a\end{pmatrix},$ de valeurs propres $0$ et $-a$ . Donc le linéarisé est stable mais pas asymptotiquement stable (présence d'une valeur propre nulle).

Pour la dynamique non linéaire, calculons la dérivée de $F(x,y)=\frac12y^2+\frac14x^4+\frac16x^6.$ Le long des trajectoires, $\frac{d}{dt}F=x^3x'+x^5x'+yy' = x^3y+x^5y+y[-ay(1-x^2)-x^3-x^5] = -a(1-x^2)y^2.$ Au voisinage de l'origine, si $|x|<1$ , on a $1-x^2>0$ , donc $\frac{d}{dt}F(x(t),y(t))\le0.$ Ainsi $F$ est décroissante tant que la trajectoire reste dans un voisinage où $|x|<1$ . Comme $F$ est positive définie et contrôle $x^4+y^2$ , on choisit $\delta$ assez petit pour que $F(x(0),y(0))$ soit inférieur au minimum de $F$ sur la sphère de rayon $\varepsilon$ . Par décroissance, la trajectoire ne peut pas sortir de la boule de rayon $\varepsilon$ . Ceci prouve la stabilité de Lyapunov.

Enfin, l'ensemble où $\dot F=0$ près de l'origine est donné par $y=0$ . Sur cet ensemble, le système impose alors $x'=0$ et $y'=-x^3$ , donc seule la trajectoire constante $(0,0)$ y reste. Par le principe d'invariance de LaSalle, on conclut que $\boxed{(0,0)\text{ est asymptotiquement stable pour le système non linéaire.}}$