مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 11

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD — Mathématiques Appliquées (Option Probabilités et Statistique) — Épreuve de Statistique, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 17/10/2015 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi uniforme, exponentielle et loi gamma : sommes partielles

#probability#uniform-distribution#exponential-distribution#gamma-distribution#beta-distribution

Soit $X_1, \ldots, X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi de probabilité continue $F$ .

Montrer que $F(X_1), \ldots, F(X_n)$ sont iid et uniformément distribuées sur $[0, 1]$ .
Montrer que $E_1 = -\log F(X_1), \ldots, E_n = -\log F(X_n)$ sont iid exponentielles de paramètre 1.
Quelle est, pour chaque $i$ , la loi de probabilité de la variable aléatoire $S_i = E_1 + \ldots + E_i$ ?
Soit $Z_1, Z_2$ deux variables aléatoires indépendantes de lois gamma de paramètres $(\alpha, \theta)$ et $(\beta, \theta)$ respectivement. Indiquer (sans le démontrer) quelle est la loi de la variable aléatoire $Y = Z_1/(Z_1 + Z_2)$ ?
Déduire, de la question 4, la loi de probabilité de la variable aléatoire $V_i = S_i/S_n$ , $i = 1, \ldots, n$ . Indication : écrire $S_n$ sous forme de la somme de deux termes.

◀الحل

1.

Si $X$ a pour fonction de répartition $F$ continue, alors $U = F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$ (transformation intégrale de probabilité). Par iid, les $F(X_i)$ sont iid $\text{Unif}(0,1)$ .

2.

Si $U \sim \text{Unif}(0,1)$ , alors $-\log U \sim \text{Exp}(1)$ . Donc les $E_i$ sont iid $\text{Exp}(1)$ .

3.

$S_i = E_1 + \cdots + E_i$ est somme de $i$ v.a. iid $\text{Exp}(1)$ .

\boxed{S_i \sim \text{Gamma}(i, 1)}

4.

Si $Z_1 \sim \text{Gamma}(\alpha, \theta)$ et $Z_2 \sim \text{Gamma}(\beta, \theta)$ indépendantes, alors

\boxed{Y = \frac{Z_1}{Z_1+Z_2} \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)}

5.

$S_n = S_i + (S_n - S_i)$ où $S_i \sim \text{Gamma}(i,1)$ et $S_n - S_i \sim \text{Gamma}(n-i, 1)$ sont indépendantes. Par la question 4 :

\boxed{V_i = S_i/S_n \sim \text{Beta}(i, n-i)}

التمرين 2

Exercice 2 — Loi de Rayleigh : EMV et propriétés

#statistics#rayleigh-distribution#maximum-likelihood#bias#convergence

Soit $X$ une variable aléatoire de densité de probabilité $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\theta} \exp\left\{-\frac{x^2}{2\theta}\right\} & \text{si } x \gt 0 \\\\ 0 & \text{si } x \leq 0 \end{cases} \quad ; \; \theta \gt 0.

Déterminer la fonction de répartition de $Y = X^2/2$ , puis déduire sa densité de probabilité. À quelle loi de probabilité usuelle correspond-elle ?
Déterminer, à partir d'un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ , de taille $n \geq 1$ , de $X$ , l'estimateur du maximum de vraisemblance $\hat{\theta}$ du paramètre $\theta$ .
Montrer que $\hat{\theta}$ est sans biais et convergent en moyenne quadratique (pour $\theta$ ). On rappelle que l'espérance et la variance d'une variable aléatoire exponentielle, de paramètre $\alpha \gt 0$ , sont respectivement égales à $1/\alpha$ et $1/\alpha^2$ .

◀الحل

1.

$Y = X^2/2$ . $F_Y(y) = P(X^2/2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{2y}) = F_X(\sqrt{2y})$ . $f_Y(y) = \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}$ pour $y \gt 0$ .

\boxed{Y \sim \text{Exp}(1/\theta)}

2.

$L(\theta) = \prod \frac{x_i}{\theta} e^{-x_i^2/(2\theta)}$ . $\ell(\theta) = \sum \ln x_i - n\ln\theta - \frac{1}{2\theta}\sum x_i^2$ .

$\ell'(\theta) = -n/\theta + \frac{1}{2\theta^2}\sum x_i^2 = 0$ donne

\boxed{\hat{\theta} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n X_i^2 = \bar{Y}}

3.

$\hat{\theta} = \frac{1}{n}\sum Y_i$ avec $Y_i = X_i^2/2 \sim \text{Exp}(1/\theta)$ . $\mathbb{E}(\hat{\theta}) = \theta$ (sans biais). $\text{Var}(\hat{\theta}) = \theta^2/n \to 0$ . Donc convergent en moyenne quadratique.

التمرين 3

Exercice 3 — Test de puissance et risque de première espèce

#statistics#hypothesis-testing#power-function#type-I-error

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un échantillon, de taille $n \geq 1$ , d'une population normale d'espérance $\mu$ et de variance 1. Pour trancher entre l'hypothèse $H_0 : \mu \geq 2$ contre l'hypothèse alternative $H_1 : \mu \lt 2$ , on propose le test dont la région de rejet est $W = \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n : \bar{x} \lt 2 - 1/\sqrt{n}\}$ .

Déterminer la fonction puissance de ce test. Étudier ses variations puis tracer (approximativement) son graphe.
Sachant que la valeur de la fonction de répartition de la loi normale standard en 1 est égale à 0.84, déterminer le risque de première espèce de ce test.
Vérifier que ce test est sans biais.

◀الحل

1.

$\pi(\mu) = P_{\mu}(\bar{X} \lt 2 - 1/\sqrt{n}) = P\left(\frac{\bar{X}-\mu}{1/\sqrt{n}} \lt \frac{2-1/\sqrt{n}-\mu}{1/\sqrt{n}}\right) = \Phi(\sqrt{n}(2-1/\sqrt{n}-\mu) \cdot \sqrt{n})$ .

Simplification : $\pi(\mu) = \Phi((2-\mu)\sqrt{n} - 1)$ .

$\pi$ est décroissante en $\mu$ (car $\Phi$ est croissante et l'argument est décroissant).

2.

Le risque de première espèce est $\alpha = \sup_{\mu \geq 2} \pi(\mu) = \pi(2) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.84 = 0.16$ .

\boxed{\alpha = 0.16}

3.

Pour $\mu \lt 2$ (sous $H_1$ ) : $(2-\mu)\sqrt{n} - 1 \gt -1$ , donc $\pi(\mu) \gt \Phi(-1) = \alpha$ . Le test est sans biais car la puissance sous $H_1$ est toujours $\gt \alpha$ .

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