مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 11

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E = \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ et $(a, b)$ dans $\mathbb{R}^2$.

1) Montrer que $\mathscr{S}_n(\mathbb{R})$ (respectivement $\mathscr{A}_n(\mathbb{R})$) l'ensemble des matrices symetriques (respectivement antisymetriques) de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

2) Calculer les dimensions de $\mathscr{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathscr{A}_n(\mathbb{R})$.

3) Soit l'endomorphisme $u \in L(E)$ qui, a toute matrice $M \in E$, associe $u(M) = aM + bM^t$.

i) Montrer que $u$ est diagonalisable.

ii) Determiner $\mathrm{tr}(u)$ et $\det(u)$.

Soit $A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$ une matrice de $\mathscr{M}_2(\mathbb{R})$. On considere l'application $q$ telle que : $q(A) = \det(A) - \dfrac{1}{4}(\mathrm{tr}(A))^2$.

1) Montrer que $q$ est une forme quadratique degeneree. Quelle est sa signature ?

2) Exprimer $q$ a l'aide de $\mathrm{tr}(A)$ et $(\mathrm{tr}(A))^2$.

Soit $F_p^*$ le groupe multiplicatif des elements non nuls du corps fini $F_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, $p$ etant un nombre premier different de 2. On designe par $G_p$ l'ensemble des carres dans $F_p^*$, c'est a dire, $G_p = \{y \in F_p^* / \exists x \in F_p^* : y = x^2\}$.

a). Verifier que $G_p$ est un sous-groupe de $F_p^*$. Montrer que l'application $\varphi : x \mapsto x^2$ est un morphisme du groupe $F_p^*$ sur le groupe $G_p$.

b). Calculer $\mathrm{Ker}\,\varphi$. En deduire que $G_p$ est isomorphe a $F_p^*/\mathrm{Ker}\,\varphi$.

c). Montrer que $|G_p| = (p - 1)/2$. Pour $p = 7$, calculer $G_p$.