مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 07

Soit $X$ un ensemble. On appelle $\sigma$-filtre sur $X$ toute collection $\mathcal F\neq\emptyset$ de parties de $X$ vérifiant :

$ \emptyset\notin\mathcal F,

$
\forall A\in\mathcal F,\ \forall B\subset X:\quad A\subset B\Rightarrow B\in\mathcal F,

$ \forall(A_n)n\subset\mathcal F:\quad\bigcap{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F.

Pour tout $\sigma$-filtre $\mathcal F$ sur $X$, on pose

$
\mathcal B_{\mathcal F}=\{B\subset X:B\in\mathcal F\text{ ou }B^c\in\mathcal F\}.

1. Soit $\mathcal F$ un $\sigma$-filtre sur $X$.

   1. Montrer que $\mathcal B_{\mathcal F}$ est une tribu sur $X$.
   2. On définit $\mu_{\mathcal F}$ sur $\mathcal B_{\mathcal F}$ par

$ \mu_{\mathcal F}(B)=\begin{cases}1,&B\in\mathcal F,\0,&B\notin\mathcal F.\end{cases}

Montrer que $\mu_{\mathcal F}$ est une mesure.

2. Soit $\mathcal B$ une tribu sur $X$ et $\mu$ une mesure non nulle sur $(X,\mathcal B)$, à valeurs dans $\{0,1\}$. Montrer que $\mathcal F=\{A\in\mathcal B:\mu(A)=1\}$ est un $\sigma$-filtre sur $X$.

3. Soit $X$ un ensemble non dénombrable. On considère

$
\mathcal F=\{A\subset X:A^c\text{ est dénombrable}\}.

Montrer que $\mathcal F$ est un $\sigma$-filtre sur $X$. Trouver $\mathcal B_{\mathcal F}$ et $\mu_{\mathcal F}$.

Soit $(X,\mathcal M,\mu)$ un espace mesuré.

1. Montrer que si $f:X\to\mathbb{R}$ est intégrable, alors elle est finie presque partout.

2. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions réelles mesurables sur $X$ telle que

$ \sum_{n=1}^{\infty}\int_X\lvert f_n\rvert,d\mu<\infty.

Montrer que $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ converge presque partout vers une fonction intégrable $f$ et que

$
\int_X\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_n\right)d\mu=\int_Xf\,d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_Xf_n\,d\mu.

Dans la suite, $\mathbb{R}$ est muni de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue.

3. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ mesurable positive telle que $x\mapsto\sum_{n=1}^{\infty}f(x+n)$ soit intégrable. Montrer que $f=0$ presque partout.

4. Pour $n\in\mathbb{N}^*$ et $s\in\mathbb{R}$, on pose

$ f_n(x)=\chi_{\mathbb{R}_+^*}(x)x^{s-1}e^{-nx}.

On définit

$
\Gamma(s)=\int_0^{\infty}y^{s-1}e^{-y}\,dy,\quad s>0,

et

$ \Psi(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s},\quad s>1.

   1. Montrer que

$
\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx=\Gamma(s)\Psi(s),\quad s>1.

2. En déduire que

$ \int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1},dx=+\infty,

pour tout $s\in]0,1]$.

$\mathbb{R}$ est muni de sa tribu borélienne. Soient $(X,\mathcal M)$ un espace mesurable et $f:X\to\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est mesurable si et seulement si

$\forall r\in\mathbb{Q}:\quad\{x\in X:f(x)<r\}\in\mathcal M. ``$