مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 08

Soit $(X,\mathcal M,\mu)$ un espace mesuré et $0<p\leq\infty$.

1. Rappeler l’inégalité de Hölder dans $L^p(X,\mu)$, $1\leq p\leq\infty$.

2. Montrer que

$$\lVert f+g\rVert_{L^p(X,\mu)}\leq\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu)}+\lVert g\rVert_{L^p(X,\mu)},$$

pour toutes $f,g\in L^p(X,\mu)$, avec $1\leq p\leq\infty$.

3. Soit $0<p<\infty$ et $w:X\to[0,\infty[$ une fonction mesurable. On pose

$$L^p(X,\mu,w)=\left\{f:X\to\mathbb{R}:\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu,w)}=\left(\int_X\lvert f\rvert^pw\,d\mu\right)^{1/p}<\infty\right\}.$$

1. Prouver que

$$\lVert fg\rVert_{L^r(X,\mu,w)}\leq\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu,w)}\lVert g\rVert_{L^q(X,\mu,w)},$$

pour $f\in L^p(X,\mu,w)$, $g\in L^q(X,\mu,w)$ et $\frac1r=\frac1p+\frac1q$.

2. Prouver que si $f\in L^p(X,\mu,w)\cap L^q(X,\mu,w)$, alors $f\in L^r(X,\mu,w)$ pour $p\leq r\leq q$ et

$$\lVert f\rVert_{L^r(X,\mu,w)}\leq\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu,w)}^\theta\lVert f\rVert_{L^q(X,\mu,w)}^{1-\theta},$$

où $\frac1r=\frac\theta p+\frac{1-\theta}{q}$, $0<\theta<1$.

4. On suppose que $f:X\to]0,\infty[$ est mesurable et $f\in L^1(X,\mu,w)$. On suppose que $\mu(E)<1$, avec $E\subset X$. Prouver que

$$\lim_{p\to0}\lVert f\chi_E\rVert_{L^p(X,\mu)}=0.$$

5. On suppose que $1\leq p<q<\infty$. Prouver que

$$L^r(X,\mu)\subset L^p(X,\mu)+L^q(X,\mu).$$

6. On suppose que $\mu(X)=1$. Soient $f,g:X\to[0,\infty[$ deux fonctions mesurables avec $fg\geq1$. Prouver que

$$1\leq\lVert f\rVert_{L^1(X,\mu)}\lVert g\rVert_{L^1(X,\mu)}.$$

Soit $X$ un ensemble. On appelle $\sigma$-filtre sur $X$ toute collection $\mathcal F\neq\emptyset$ de parties de $X$ vérifiant :

$$\emptyset\notin\mathcal F,$$ $$\forall A\in\mathcal F,\ \forall B\subset X:\quad A\subset B\Rightarrow B\in\mathcal F,$$ $$\forall(A_n)_n\subset\mathcal F:\quad\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F.$$

Pour tout $\sigma$-filtre $\mathcal F$ sur $X$, on pose

$$\mathcal B_{\mathcal F}=\{B\subset X:B\in\mathcal F\text{ ou }B^c\in\mathcal F\}.$$

1. Montrer que $\mathcal B_{\mathcal F}$ est une tribu sur $X$ et que l’application

$$\mu_{\mathcal F}(B)=\begin{cases}1,&B\in\mathcal F,\\0,&B\notin\mathcal F\end{cases}$$

est une mesure.

2. Soit $\mathcal B$ une tribu sur $X$ et $\mu$ une mesure non nulle sur $(X,\mathcal B)$, à valeurs dans $\{0,1\}$. Montrer que $\mathcal F=\{A\in\mathcal B:\mu(A)=1\}$ est un $\sigma$-filtre.

3. Si $X$ est non dénombrable et

$$\mathcal F=\{A\subset X:A^c\text{ est dénombrable}\},$$

montrer que $\mathcal F$ est un $\sigma$-filtre et trouver $\mathcal B_{\mathcal F}$ et $\mu_{\mathcal F}$.

Soit $E$ un ensemble mesurable de $\mathbb{R}$ et $f:E\to\mathbb{C}$ telle que

$$\int_E\lvert f(x)\rvert\,dx<\infty.$$

On pose

$$g(t,x)=\frac{1}{2t}\left(\lvert1+2tf(x)\rvert-1\right),\qquad t>0,\ x\in E.$$

1. Calculer $\lim_{t\to0}g(t,x)$.

2. Calculer

$$\lim_{t\to0}\int_Eg(t,x)\,dx.$$

3. Pour $a>0$, on pose

$$g_a(t,x)=\frac{1}{2t}\left(\lvert a+2tf(x)\rvert-a\right).$$

On suppose que $\int_Edx=1$ et $\int_Ef(x)\,dx=0$. Montrer que

$$\int_Eg_a(t,x)\,dx\geq0.$$