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مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 08

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation 3ème cycle — 15/10/2016 — Doctorat en Mathématiques Appliquées — Option : Statistique non paramétrique — Épreuve de Statistique Inférentielle (08h30-10h00), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Intervalle de confiance pour une proportion (sondage électoral)

#statistics#confidence-interval#proportion#sample-size

Exercice 1. (9 points)

On choisit un échantillon indépendant et identiquement distribué de 500 électeurs parmi tous les électeurs d'une même commune ; ce choix indique que 53% d'entre eux ont voté pour un candidat donné. Soient P\mathbf{P} et pp la fréquence empirique et la fréquence de la population respectivement.

  1. (2 pts) Déterminer E[P]=μPE[\mathbf{P}]=\mu_{\mathbf{P}} et σP\sigma_{\mathbf{P}}.
  2. (3 pts) Si la taille de l'échantillon n>30n\gt 30, trouver l'intervalle de confiance pour pp.
  3. (4 pts) Évaluer les limites de confiance à 95% et 99% pour la fréquence pp de la population.

N.B. : Pour le niveau (1−α)=95%(1-\alpha)=95\%, z0.975=1.96z_{0.975}=1.96. Pour le niveau (1−α)=99%(1-\alpha)=99\%, z0.995=2.58z_{0.995}=2.58.

◀الحل

1.

E[P]=pE[\mathbf{P}]=p, σP=p(1−p)n\sigma_{\mathbf{P}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.

2.

Par le TCL, P−pp(1−p)/n→LN(0,1)\frac{\mathbf{P}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1). IC de niveau 1−α1-\alpha :

P−z1−α/2p^(1−p^)n≤p≤P+z1−α/2p^(1−p^)n.\mathbf{P}-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\leq p\leq\mathbf{P}+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.

3.

p^=0.53\hat{p}=0.53, n=500n=500, 0.53×0.47500≈0.0223\sqrt{\frac{0.53\times 0.47}{500}}\approx 0.0223.

IC 95% : 0.53±1.96×0.0223≈0.53\pm 1.96\times 0.0223\approx

[0.486 ; 0.574].\boxed{[0.486\,;\,0.574].}

IC 99% : 0.53±2.58×0.0223≈0.53\pm 2.58\times 0.0223\approx

[0.473 ; 0.587].\boxed{[0.473\,;\,0.587].}

التمرين 2

Exercice 2 — Estimateur de Var[Y1] pour loi de Bernoulli, biais et correction

#statistics#bernoulli-distribution#variance-estimation#bias-correction

Exercice 2. (6 points)

Soit Y1,…,YnY_1,\ldots,Y_n une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de Bernoulli (p)(p). On désire estimer Var⁡[Y1]\operatorname{Var}[Y_1], c'est-à-dire θ=p(1−p)\theta=p(1-p). Pour ce faire, on dispose de l'estimateur p^=Yˉ=n−1∑i=1nYi\hat{p}=\bar{Y}=n^{-1}\sum_{i=1}^n Y_i et on considère θ^=Yˉ(1−Yˉ)\hat{\theta}=\bar{Y}(1-\bar{Y}).

  1. (3 pts) Calculer le biais de cet estimateur.
  2. (3 pts) Comment proposez-vous de corriger ce biais ?
◀الحل

1.

E[Yˉ2]=Var⁡(Yˉ)+(E[Yˉ])2=p(1−p)n+p2E[\bar{Y}^2]=\operatorname{Var}(\bar{Y})+(E[\bar{Y}])^2=\frac{p(1-p)}{n}+p^2.

E[θ^]=E[Yˉ]−E[Yˉ2]=p−p(1−p)n−p2=p(1−p)−p(1−p)n=θ(1−1n)E[\hat{\theta}]=E[\bar{Y}]-E[\bar{Y}^2]=p-\frac{p(1-p)}{n}-p^2=p(1-p)-\frac{p(1-p)}{n}=\theta\left(1-\frac{1}{n}\right).

Biais=E[θ^]−θ=−θn\text{Biais} = E[\hat{\theta}]-\theta = -\frac{\theta}{n}.

2.

Estimateur corrigé : θ^∗=nn−1θ^=Yˉ(1−Yˉ)⋅nn−1\hat{\theta}^* = \frac{n}{n-1}\hat{\theta}=\frac{\bar{Y}(1-\bar{Y})\cdot n}{n-1}, qui vérifie E[θ^∗]=θE[\hat{\theta}^*]=\theta.

θ^∗=nn−1Yˉ(1−Yˉ).\boxed{\hat{\theta}^*=\frac{n}{n-1}\bar{Y}(1-\bar{Y}).}

التمرين 3

Exercice 3 — Test chi-deux pour la variance d'une loi gaussienne

#statistics#hypothesis-testing#chi-squared-test#variance-test

Exercice 3. (5 points)

Soit X1,…,X20X_1,\ldots,X_{20} un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'une loi Gaussienne N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2). Nous considérons l'hypothèse H0:σ2=σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2. On utilise la statistique

σ^2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2,ouˋ Xˉ=1n∑i=1nXi.\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2,\quad\text{où }\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.

  1. (3 pts) Déterminer la distribution exacte de 1σ02∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 sous H0H_0.
  2. (2 pts) Calculer la valeur critique kαk_\alpha pour un test unilatéral (H1:σ2>σ02)(H_1:\sigma^2\gt\sigma_0^2) au seuil de 5%.

Le fractile FP=30.144F_P=30.144 de la loi de khi-deux à 19 degrés de liberté pour 95% =P(χ2<FP)= P(\chi^2\lt F_P).

◀الحل

1.

Sous H0H_0, (n−1)σ^2σ02=1σ02∑i=1n(Xi−Xˉ)2∼χn−12=χ192\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2}=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\sim\chi^2_{n-1}=\chi^2_{19}.

2.

Règion de rejet : {(n−1)σ^2σ02>kα}\{\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2}\gt k_\alpha\} avec P(χ192>kα)=5%P(\chi^2_{19}\gt k_\alpha)=5\%.

kα=FP=30.144k_\alpha=F_P=30.144.

kα=30.144.\boxed{k_\alpha=30.144.}

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