مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 09

Soit $K>0$. Soit $f$ une fonction mesurable sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$, telle que

$ f(x+K)=f(x),\quad \forall x\in\mathbb{R},

et

$
B=\int_0^K\lvert f(x)\rvert\,dx<\infty.

1. Montrer que

$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\int_0^K\lvert f(nx)\rvert,dx<\infty.

2. Déduire la limite de

$
\frac{1}{n^4}f(nx)

lorsque $n\to+\infty$.

3. Application : on pose $f(x)=(\log\lvert\cos x\rvert)^4$. Calculer

$\lim_{n\to+\infty}\lvert\cos(nx)\rvert^{1/n}. ``$

Soit $(X,\mathcal M,\mu)$ un espace mesuré et $0<p\leq\infty$.

1. Rappeler l’inégalité de Hölder dans $L^p(X,\mu)$, $1\leq p\leq\infty$.

2. Montrer que

$ \lVert f+g\rVert_{L^p(X,\mu)}\leq\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu)}+\lVert g\rVert_{L^p(X,\mu)}.

3. Pour une fonction mesurable $w:X\to[0,\infty[$, on pose

$
L^p(X,\mu,w)=\left\{f:X\to\mathbb{R}:\left(\int_X\lvert f\rvert^pw\,d\mu\right)^{1/p}<\infty\right\}.

1. Prouver l’inégalité de Hölder pondérée :

$ \lVert fg\rVert_{L^r(X,\mu,w)}\leq\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu,w)}\lVert g\rVert_{L^q(X,\mu,w)},\qquad \frac1r=\frac1p+\frac1q.

   2. Prouver l’inégalité d’interpolation : si $f\in L^p(X,\mu,w)\cap L^q(X,\mu,w)$, $p\leq r\leq q$, alors

$
\lVert f\rVert_{L^r(X,\mu,w)}\leq\lVert f\rVert_{L^p(X,\mu,w)}^\theta\lVert f\rVert_{L^q(X,\mu,w)}^{1-\theta},

o├╣ $\frac1r=\frac\theta p+\frac{1-\theta}{q}$.

4. On suppose que $f:X\to]0,\infty[$ est mesurable et $f\in L^1(X,\mu,w)$, et que $\mu(E)<1$. Prouver que

$ \lim_{p\to0}\lVert f\chi_E\rVert_{L^p(X,\mu)}=0.

5. Si $1\leq p<q<\infty$, prouver que $L^r(X,\mu)\subset L^p(X,\mu)+L^q(X,\mu)$.

6. Si $\mu(X)=1$ et $f,g:X\to[0,\infty[$ sont mesurables avec $fg\geq1$, prouver que

$
1\leq\lVert f\rVert_{L^1(X,\mu)}\lVert g\rVert_{L^1(X,\mu)}.
``$

Soit $X$ un ensemble. On appelle $\sigma$-filtre sur $X$ toute collection $\mathcal F\neq\emptyset$ de parties de $X$ vérifiant :

$ \emptyset\notin\mathcal F,

$
\forall A\in\mathcal F,\ \forall B\subset X:\quad A\subset B\Rightarrow B\in\mathcal F,

$ \forall(A_n)n\subset\mathcal F:\quad\bigcap{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F.

Pour tout $\sigma$-filtre $\mathcal F$ sur $X$, on pose

$
\mathcal B_{\mathcal F}=\{B\subset X:B\in\mathcal F\text{ ou }B^c\in\mathcal F\}.

1. Montrer que $\mathcal B_{\mathcal F}$ est une tribu sur $X$ et que

$ \mu_{\mathcal F}(B)=\begin{cases}1,&B\in\mathcal F,\0,&B\notin\mathcal F\end{cases}

est une mesure.

2. Soit $\mathcal B$ une tribu sur $X$ et $\mu$ une mesure non nulle sur $(X,\mathcal B)$, à valeurs dans $\{0,1\}$. Montrer que $\mathcal F=\{A\in\mathcal B:\mu(A)=1\}$ est un $\sigma$-filtre.

3. Soit $X$ non dénombrable et

$
\mathcal F=\{A\subset X:A^c\text{ est dénombrable}\}.

Montrer que $\mathcal F$ est un $\sigma$-filtre. Trouver $\mathcal B_{\mathcal F}$ et $\mu_{\mathcal F}$.