مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 09

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours national d'accès à la formation de troisième cycle (2016/2017) — Doctorat en Mathématiques Appliquées (15/10/2016) — Option : Probabilités et Équations Différentielles Stochastiques — Épreuve de Processus Stochastique (durée : 01h30) — Version A, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Famille de variables échangeables : stationnarité, variance, De Finetti

#stochastic-processes#exchangeable-variables#de-finetti-theorem#gaussian-process

On dit d'une famille de variables $(X_n)_{n\geq 1}$ définies sur un espace $(\Omega,\mathcal{F},P)$ qu'elles sont échangeables si pour tout $n$ et pour tout $\sigma\in S_n$ , les vecteurs $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})$ ont même loi.

(2 pts) Montrer qu'une famille de variables échangeables est stationnaire.
(2 pts) Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une famille de variables échangeables de carré intégrables. Exprimer la variance de $X_1+\cdots+X_n$ en fonction de $\operatorname{Var}(X_1)$ et $\operatorname{Cov}(X_1,X_2)$ . En déduire que les $X_i$ sont positivement corrélés.
(2 pts) Montrer qu'à partir d'un bruit blanc $(X_i)_{i\geq 1}$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ , on peut fabriquer un processus gaussien de variables échangeables en posant $X_i=m+aY_0+bY_i$ .
(2 pts) Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ un processus gaussien de variables échangeables. Montrer qu'il existe une v.a. $Z$ telle que, sachant $Z$ , les $X_i$ sont indépendantes (théorème de De Finetti–Hewitt–Savage).

◀الحل

1.

La stationnarité d'ordre $k$ signifie que $(X_{n_1},\ldots,X_{n_k})$ a même loi que $(X_{n_1+h},\ldots,X_{n_k+h})$ . Ceci découle directement de l'échangeabilité par choix de la permutation appropriée.

2.

$\operatorname{Var}(S_n)=n\operatorname{Var}(X_1)+n(n-1)\operatorname{Cov}(X_1,X_2)\geq 0$ pour tout $n$ . Divisant par $n^2$ et prenant $n\to\infty$ force $\operatorname{Cov}(X_1,X_2)\geq 0$ .

3.

$(X_i)$ sont échangeables car leur loi conjointe ne dépend que de la loi de $Y_0$ et des $Y_i$ i.i.d. La permutation des indices $i\geq 1$ ne change pas la loi du vecteur.

4.

Pour un processus gaussien échangeable, $Z=\lim_{n\to\infty}\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ (limite p.s. via la loi des grands nombres conditionnelle). Sachant $Z$ , les $X_i$ sont i.i.d. $\mathcal{N}(Z,\sigma^2-\operatorname{Cov}(X_1,X_2))$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Décomposition de Doob d'une sous-martingale

#stochastic-processes#doob-decomposition#submartingale#filtration

Soit $(\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}_n\},P)$ un espace probabilisé filtré.

(3 pts) Montrer que toute sous-martingale $\{X_n\}_{n\geq 0}$ peut être écrite d'une manière unique comme $X_n=M_n+A_n$ , où $M_n$ est une martingale et $A_n$ est un processus prévisible croissant tel que $A_0=0$ . Soit $\{Y_n\}_{n\geq 0}$ une martingale telle que $Y_0=0$ et $E[Y_n^2]\lt\infty$ . Donner la décomposition de Doob de $Y_n^2$ .
(2 pts) Soit $X_n=\sum_{m=1}^n\mathbf{1}_{B_m}$ , avec $B_n\in\mathcal{F}_n$ pour tout $n$ . a. (1 pt) Montrer que $X_n$ est une sous-martingale. b. (1 pt) Donner la décomposition de Doob de $X_n$ .

◀الحل

1.

Décomposition : Poser $A_0=0$ , $A_n=\sum_{k=1}^n(E[X_k|\mathcal{F}_{k-1}]-X_{k-1})\geq 0$ (croissant car sous-martingale). Poser $M_n=X_n-A_n$ . L'unicité découle du fait que $A_n$ est la seule partie prévisible croissante.

Décomposition de $Y_n^2$ : $E[Y_n^2|\mathcal{F}_{n-1}]-Y_{n-1}^2=E[(Y_n-Y_{n-1})^2|\mathcal{F}_{n-1}]\geq 0$ . Donc $Y_n^2=M_n'+\langle Y\rangle_n$ où $\langle Y\rangle_n=\sum_{k=1}^n E[(Y_k-Y_{k-1})^2|\mathcal{F}_{k-1}]$ .

2a.

$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=X_n+E[\mathbf{1}_{B_{n+1}}|\mathcal{F}_n]\geq X_n$ .

2b.

$A_n=\sum_{k=1}^n P(B_k|\mathcal{F}_{k-1})$ , $M_n=X_n-A_n=\sum_{k=1}^n(\mathbf{1}_{B_k}-P(B_k|\mathcal{F}_{k-1}))$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Mouvement Brownien : martingales Bt, Bt²-t, exp(αBt), Kt, covariance

#stochastic-processes#brownian-motion#martingale#ito-formula

Soient $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),P)$ un espace de probabilité filtré sur lequel le processus $(B_t)$ est un mouvement brownien bien défini.

(1 pt) Montrer que $X_t=B_t$ est une martingale par rapport à la filtration canonique $(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ .
(1 pt) Montrer que $Y_t=B_t^2-t$ est une martingale par rapport à $(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ .
(1 pt) Pour tout $\alpha\in\mathbb{R}$ , montrer que $Z_t=\exp(\alpha B_t-\alpha^2t/2)$ est une martingale.
(2 pts) Pour tout $\alpha\in\mathbb{R}$ , montrer que $K_t=e^{-\alpha^2t/2}\cosh(\alpha B_t)$ est une martingale.
(1 pt) Calculer la covariance entre deux mouvements browniens $\operatorname{Cov}(B_t,B_s)$ .

◀الحل

1.

$E[B_t|\mathcal{F}_s]=E[B_s+(B_t-B_s)|\mathcal{F}_s]=B_s$ car $B_t-B_s\perp\mathcal{F}_s$ et $E[B_t-B_s]=0$ .

2.

$E[B_t^2-t|\mathcal{F}_s]=E[(B_s+(B_t-B_s))^2|\mathcal{F}_s]-t=B_s^2+2B_sE[B_t-B_s|\mathcal{F}_s]+(t-s)-t=B_s^2-s$ .

3.

$Z_t$ est l'exponentielle de Doléans-Dade : $dZ_t=\alpha Z_t dB_t$ (par Itô), sans terme en $dt$ , donc martingale locale, et intégrable car $E[Z_t]=1$ .

4.

$K_t=\frac{1}{2}(Z_t^{(\alpha)}+Z_t^{(-\alpha)})$ : moyenne de deux martingales, donc martingale.

5.

Pour $s\leq t$ : $\operatorname{Cov}(B_t,B_s)=E[B_tB_s]=E[B_s^2]=s$ .

$\boxed{\operatorname{Cov}(B_t,B_s)=\min(s,t).}$

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