مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

1. On considère l’espace vectoriel $\mathbb{R}^4$ et $E_1,E_2$ les espaces vectoriels engendrés respectivement par les systèmes

$ S_1={(1,-1,2,-3),(1,1,2,0),(3,-1,6,-6)},

$
S_2=\{(0,-2,0,-3),(1,0,1,0)\}.

Trouver les dimensions de $E_1$, $E_2$, $E_1+E_2$ et $E_1\cap E_2$.

2. Supposons que $F_1$ et $F_2$ soient deux sous-espaces distincts de dimension $2$ dΓÇÖun espace $F$ de dimension $3$. Montrer que leur intersection $F_1\cap F_2$ est de dimension $1$.

3. Qu’est-ce que cela signifie géométriquement pour $F=\mathbb{R}^3$ ?

On considère l’application

$ d:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+,

$
d(x,y)=\begin{cases}
0, & x=y,\\
1, & x\neq y.
\end{cases}

1. Montrer que $d$ est une distance sur $\mathbb{N}$.

2. Décrire, en fonction du rayon $r$, la boule ouverte $B(n,r)$.

3. Quelles sont les suites de Cauchy ? LΓÇÖespace est-il complet ?

On considère le problème aux limites suivant :

$ \begin{cases} -u''(x)+c(x)u(x)=f(x), & 0<x<1,\ u(0)=u(1)=0. \end{cases}

Les fonctions $f$ et $c$ sont continues et données sur $[0,1]$. On suppose $c(x)\geq0$ pour $x\in[0,1]$.

On subdivise lΓÇÖintervalle $[0,1]$ en $N+1$ sous-intervalles $[x_i,x_{i+1}]$ avec $x_i=ih$, pour $i=0,\ldots,N+1$, o├╣ $h=\frac{1}{N+1}$. On note $u_i$ lΓÇÖapproximation de la solution en $x_i$, $f(x_i)=f_i$ et $c(x_i)=c_i$.

Le schéma d’approximation vérifie

$
\begin{cases}
\frac{-u_{i+1}+2u_i-u_{i-1}}{h^2}+c_iu_i=f_i, & i=1,\ldots,N,\\
u_0=0,\quad u_{N+1}=0.
\end{cases}

1. Écrire le problème approché sous la forme d’un système linéaire $Au=b$, où

$ u=(u_1,u_2,\ldots,u_N)^T,\qquad b=h^2(f_1,f_2,\ldots,f_N)^T.

2. Montrer que

$
v^TAv=v_1^2+v_N^2+h^2\sum_{i=1}^{N}c_iv_i^2+\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i+1}-v_i)^2,

pour tout $v=(v_1,v_2,\ldots,v_N)\in\mathbb{R}^N$.

3. En déduire que le système linéaire admet une solution unique.

4. Pour $i=1,2,\ldots,N$, on pose

$ R_i=\frac{1}{h^2}\left(2u(x_i)-u(x_{i-1})-u(x_{i+1})\right)+c(x_i)u(x_i)-f(x_i).

QuΓÇÖappelle-t-on $R_i$ ? Montrer que

$
\lvert R_i\rvert\leq\frac{h^2}{12}\sup_{[0,1]}\lvert u^{(4)}\rvert.
``$