مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

Considérons le problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur suivant :

$ \begin{cases} \partial_tu=\partial_{xx}u, & (t,x)\in ]0,+\infty[\times\mathbb{R},\ u(0,x)=f(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

La fonction suivante

$
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}\,dy

est une solution classique de ce problème sous certaines conditions.

1. Pour quelle condition sur $f$ cette solution existe-t-elle ?

2. Soit $f\in L^1(\mathbb{R})$. Montrer que $\lVert u(\cdot,t)\rVert_{L^\infty(\mathbb{R})}$ tend vers zéro si $t\to+\infty$.

3. Supposant que $f$ est continue et bornée, montrer que $u(x,t)$ est bornée pour $(t,x)\in ]0,+\infty[\times\mathbb{R}$.

4. Calculer la solution $u(x,t)$ pour

$ f(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\ 3, & x<0. \end{cases}

5. Que peut-on remarquer par rapport à la condition d’existence de la solution ? Est-ce que la solution reste $C^\infty(\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R})$ ?

6. Dans ce cas, que peut-on déduire pour l’équation de la chaleur ?

Aide :

$
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-s^2}\,ds.
``$

Soit $T>0$. On considère $u(t,x)\in C^2([0,T]\times\mathbb{R})$, la solution de l’équation suivante :

$ \begin{cases} u_t-u_{xx}+\frac{2+x^2}{1+x^2}u=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x\in\mathbb{R},\ t\in(0,T),\ u(t,x)\to0, & x\to\pm\infty,\ \forall t\in(0,T),\ u(0,x)=0, & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

1. Rappeler la définition de $H^1(\mathbb{R})$ et de sa norme.

2. Donner la formulation variationnelle du problème.

3. Démontrer que

$
\left\lvert\int_{\mathbb{R}}\frac{v}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\right\rvert\leq\sqrt{\pi}\lVert v\rVert_{L^2(\mathbb{R})},\qquad \forall v\in H^1(\mathbb{R}).

4. Vérifier que l’opérateur $A$ défini par

$ A(v)=-v_{xx}+\frac{2+x^2}{1+x^2}v

est coercif sur $H^1(\mathbb{R})$.

5. Démontrer que

$
\int_{\mathbb{R}}A(v)w\,dx\leq3\lVert v\rVert_{H^1(\mathbb{R})}\lVert w\rVert_{H^1(\mathbb{R})},\qquad \forall v,w\in H^1(\mathbb{R}).

6. Démontrer que

$ \sup_{t\in[0,T]}\lVert u(t)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}\leq\sqrt{\pi T}

et

$
\int_0^T\lVert u_x(s)\rVert_{H^1(\mathbb{R})}^2\,ds\leq\pi T.

Aide : $2ab\leq a^2+b^2$.