مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 05

Soit $(X,\lVert\cdot\rVert)$ un espace de Banach quelconque.

(1) Montrer qu'un sous-espace $E$ de $X$ est complet si et seulement si $E$ est fermé.

(2) En déduire que tout sous-espace vectoriel de $X$ de dimension finie est fermé dans $X$.

(3) Montrer que tout sous-espace vectoriel strict $E$ de $X$ est d'intérieur vide.

Notations : $\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^2}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx$. $S'(\mathbb{R}^2)$ est l'ensemble des distributions tempérées. $\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ est l'ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact.

(1) (a) Soit $\mathcal{P}(x,y)=x^\alpha y^\beta$ tel que $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ et $(\alpha,\beta)\in\mathbb{N}^2$. Démontrer que $\mathcal{P}\in S'(\mathbb{R}^2)$.

(b) Calculer $\widehat{\mathcal{P}}(\xi,\eta)$.

(2) Soit $f(x,y)=(x^2+y^2)^{s/2}$ tel que $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ et $s\in\mathbb{R}$.

(a) Pour quelles valeurs de $s$, la fonction $f$ est localement intégrable.

(b) Si $s\in 2\mathbb{N}$, calculer $\widehat{f}(\xi,\eta)$.

(c) Si $s\notin 2\mathbb{N}$, calculer $\widehat{f}(\xi,\eta)$.

(d) Soient $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ et $\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ telles que $(0,0)\notin\operatorname{supp}\varphi$ et $(0,0)\in\operatorname{supp}\psi$. Soit $s=-2$, i.e., $f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$. Étudier la convergence de

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|\varphi(x,y)|}{x^2+y^2}\,dx\,dy,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|\psi(x,y)|}{x^2+y^2}\,dx\,dy. ``$