مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

التمرين 1

Exercice 1

#analyse fonctionnelle#forme lin├⌐aire#continuit├⌐#noyau#densit├⌐

Soit $(X,\lVert\cdot\rVert)$ un espace vectoriel norm├⌐ et $T:X\to\mathbb{R}$ une forme lin├⌐aire non nulle. On veut montrer l'├⌐quivalence suivante :

$ T \text{ est continue} \iff \ker T \text{ est ferm├⌐ dans } E.


Noyau de $T$ : $\ker T=\{x\in X:T(x)=0\}$.

(1) Montrer que si $T$ est continue, alors son noyau est ferm├⌐.

Supposons maintenant que $\ker T$ est ferm├⌐.

(2) Montrer qu'il existe un ├⌐l├⌐ment $x\in X$ tel que $T(x)=1$.

On se donne une suite $(x_n)_n$ qui tend vers 0.

(3) Montrer que $T(x_n)$ tend vers 0.

(4) En d├⌐duire que $T$ est continue.

(5) Montrer que si $T$ n'est pas continue, alors $\ker T$ est dense dans $X$. Pour cela on doit :

(a) Montrer que $\exists x_1\in\overline{\ker T}$ et $x_1\notin\ker T:T(x_1)=1$.

(b) V├⌐rifier que $X=\overline{\ker T}$.

التمرين 2

Exercice 2

#distributions temp├⌐r├⌐es#transform├⌐e de Fourier#distribution de Dirac#espaces fonctionnels

Notations : $\partial_\xi^\alpha f(\xi,\eta)=\frac{\partial^\alpha f}{\partial\xi^\alpha}$ , $\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^2}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx$ , $L^2(\mathbb{R}^n)=\{f:\lVert f\rVert_{L^2}=(\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^2dx)^{1/2}<\infty\}$ et $S'(\mathbb{R}^n)$ est l'ensemble des distributions temp├⌐r├⌐es. $\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ est l'ensemble des fonctions $C^\infty$ ├á support compact.

(1) (a) Dans $\mathbb{R}^2$ , quel est le support de $\partial_\xi^\alpha\partial_\eta^\beta\delta$ ? ( $\delta$ est la distribution de Dirac en $(0,0)$ .)

(b) Soient $g_1(x,y)=x^m$ et $g_2(x,y)=x^me^{ix}$ , avec $m\in\mathbb{N}$ . Calculer $\widehat{g_1}(\xi,\eta)$ .

(2) Soit $\theta\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ telle que $(1,0)\in\operatorname{supp}\theta$ et $(0,0)\notin\operatorname{supp}\theta$ .

$ E={f\in S'(\mathbb{R}^2)\ \text{tel que}\ \lVert f\rVert_E=\lVert\theta\widehat{f}\rVert_{L^2}<\infty}.


(a) Est-ce que $g_1\in E$ ? et $g_2\in E$ ? Si oui, calculer $\lVert g_1\rVert_E$, calculer $\lVert g_2\rVert_E$.

(b) D├⌐montrer que $L^2(\mathbb{R}^2)\subset E$.

(c) D├⌐montrer que $\lVert f\rVert_E=\lVert f+\mathcal{P}\rVert_E$, o├╣ $\mathcal{P}$ est un polyn├┤me quelconque.

(d) D├⌐montrer que l'op├⌐rateur de d├⌐rivation $D:f\mapsto\partial_x^\alpha\partial_y^\beta f$ est lin├⌐aire et continu de $E$ dans $E$.

(e) Soit $f_1\in E$ une fonction donn├⌐e. Trouver $f_2$ telle que $f_1-f_2=0$ dans $E$. Donner $\operatorname{supp}(\widehat{f_1}-\widehat{f_2})$.