مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 06

I. Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. Soit l'application $T:E\to E$ définie par $T(f)(x)=x^2f(x)$.

(a) Montrer que $T$ est linéaire et bornée.

(b) Si $I:E\to E$ dénote l'application identité (i.e., $I(f)=f$), montrer que $\lVert I+T\rVert=1+\lVert T\rVert$.

II. On définit pour $f\in E$

$ N_1(f)=\int_0^1 x|f(x)|,dx,\qquad N_2(f)=\left(\int_0^1 x|f(x)|^2,dx\right)^{1/2}.

1. Vérifier que $N_1$ et $N_2$ définissent des normes sur $E$.

2. Montrer que pour tout $f\in E$, $N_1(f)\leq\frac{1}{\sqrt{2}}N_2(f)$ (i.e., que $N_2$ domine $N_1$).

3. Montrer qu'en revanche $N_1$ ne domine pas $N_2$, et donc que ces deux normes ne sont pas équivalentes (considérer $f_n$ définie par $f_n(x)=n-n^2x$ si $x\in[0,\frac{1}{n}]$, $f_n(x)=0$ si $x\in[\frac{1}{n},1]$).

Notations : $\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}f(x)\,dx$, $\lVert f\rVert_{L^2(\mathbb{R})}=(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^2dx)^{1/2}$, $\lVert f\rVert_{L^\infty}=\operatorname*{sup\,ess}_{x\in\mathbb{R}}|f(x)|$, $S'(\mathbb{R})$ est l'ensemble des distributions tempérées.

Soient $\alpha<\frac{1}{2}$ et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dans $L^2(\mathbb{R})$. On pose

$ \psi(x)=\int_{-\infty}^{x}e^{(\alpha-\frac{1}{2})(x-y)}g(y),dy,\qquad x\in\mathbb{R}.

(1) Trouver $f$ une fonction positive et intégrable telle que

$
\psi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-y)g(y)\,dy.

(2) Calculer $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$. Démontrer que $\lVert\widehat{f}\rVert_{L^\infty}\leq\frac{1}{\frac{1}{2}-\alpha}$.

(3) Démontrer que $\lVert\psi\rVert_2\leq c\lVert g\rVert_2$, la constante $c>0$ ne dépend pas de $\psi$ et $g$.

(4) Soit $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telle que $g(x)=e^{(\alpha+\frac{1}{2})x}h(e^x)$.

(a) Démontrer que

$ \int_0^{+\infty}v^{2\alpha}\left(\frac{1}{v}\int_0^v h(t),dt\right)^2 dv\leq c\int_0^{+\infty}(t^\alpha h(t))^2,dt.

(b) On pose $\varphi(v)=h(v)-\frac{1}{v}\int_0^v h(t)\,dt$. Démontrer que

$
\int_0^{+\infty}(v^\alpha\varphi(v))^2\,dv\leq c\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}(h(t+w)-h(t))^2\frac{dw}{w^{1-2\alpha}}\,dt.
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