مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

A- Soit $(E, \mathcal{T}, \mu)$ un espace mesuré (probabilisé). On considère

$$\mathcal{F} = \{A \in \mathcal{T} : \mu(A) = 0 \text{ ou } \mu(A) = 1\}.$$

Montrer que $\mathcal{F}$ est une tribu sur $E$.

B- 1. Soient $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{T}$ une tribu sur $E$. Donner la définition d'une mesure $\mu$ sur $(E, \mathcal{T})$.

2. Soient $(E, \mathcal{T}, \mu)$ un espace mesuré et $f : E \longrightarrow \mathbb{R}_+$ une fonction mesurable et positive. Montrer que l'application $\lambda$ définie sur $\mathcal{T}$ par

$$\lambda(A) = \int_A f(x)\mu(dx) = \int_E f(x)\mathbf{1}_A(x)\mu(dx), \quad A \in \mathcal{T},$$

est une mesure positive sur $(E, \mathcal{T})$. Montrer que, si $\mu(A) = 0$, alors $\lambda(A) = 0$.

C- Dans la suite $\mathbb{R}$ est muni de sa tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mathbb{N}^*$ est muni de la tribu $\mathcal{P}(\mathbb{N}^*)$ de toutes les parties de $\mathbb{N}^*$.

i) Soit $f : \mathbb{N}^* \longrightarrow \mathbb{R}_+$ une fonction mesurable positive et $\mu$ la mesure de comptage sur $\mathbb{N}^*$. Montrer que $\displaystyle\int_{\mathbb{N}^*} f\,d\mu = \sum_{k=1}^{+\infty} f(k)$.

ii) Pour $\ell > 0$ on note : $\mu_\ell : \mathcal{P}(\mathbb{N}^*) \longrightarrow [0, +\infty]$, $\mu_\ell(A) = \displaystyle\sum_{k \in A} \ell^k$, $A \subset \mathbb{N}^*$.

(On admettra que pour $\ell = 1$, la fonction $\mu_1$ est la mesure de comptage).

1) Prouver que $\mu_\ell$ est une mesure positive sur $(\mathbb{N}^*, \mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ pour tout $\ell > 0$.

2) Pour quels $\ell > 0$ la mesure $\mu_\ell$ est finie ? Et pour quels $\ell > 0$ est-elle une mesure de probabilité ?

3) Soit $B_n = \mathbb{N}^* \cap [n, +\infty[$, $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer $\mu_\ell(B_n)$ et $\mu_\ell(\mathbb{N}^* \setminus B_n)$ pour tous $\ell > 0$ et $n \in \mathbb{N}^*$.

4) Soit $(\ell_n)_n \subset\ ]0, +\infty[$ une suite croissante convergente vers $\ell_0 \in\ ]0, +\infty[$ et soit $(A_n)_n \subset \mathcal{P}(\mathbb{N}^*)$ avec $A_n \subset A_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et on pose $A = \displaystyle\bigcup_{n \ge 1} A_n$.

Prouver que $\lim_{n \to +\infty} \mu_{\ell_n}(A_n) = \mu_{\ell_0}(A)$.

A. Soit $f \in L^\infty(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R})$ avec $\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})} < 1$ et $\|f\|_{L^1(\mathbb{R})} \le 2$. Calculer $\lim_{n \to \infty} \||f|^n\|_{L^1(\mathbb{R})}$.

B. Soit $g \in C^2(\mathbb{R})$.

B.1. Démontrer que $\forall (x, a) \in \mathbb{R}^2$ on a

$$g(x + a) = g(a) + xg'(a) + \int_a^{x+a} (x + a - t)g''(t)\,dt.$$

B.2. Démontrer que $\forall (x, a) \in \mathbb{R}^2$ on a

$$\left| \int_a^{x+a} (x + a - t)g''(t)\,dt \right| \le |x|\int_{-\infty}^{+\infty} |g''(t)|\,dt.$$

B.3. En déduire : si $g \in L^\infty(\mathbb{R})$, $g'' \in L^1(\mathbb{R}) \implies g' \in L^\infty(\mathbb{R})$.

C. Soient $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ et $\beta \in \mathbb{R}$. On pose

$$\alpha_r = \frac{1}{r}\int_0^r f(x)\,dx, \quad \forall r > 0.$$

C.1. Démontrer que

$$|\beta - \alpha_r| \le \left( \frac{1}{r}\int_0^r |f(x) - \beta|^2\,dx \right)^{\frac{1}{2}}, \quad \forall r > 0.$$

C.2. Démontrer que

$$\left( \int_0^r |f(x) - \alpha_r|^2\,dx \right)^{\frac{1}{2}} \le \left( \int_0^r |f(x) - \beta|^2\,dx \right)^{\frac{1}{2}} + |\beta - \alpha_r|\sqrt{r}.$$