مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة أمحمد بوقرة بومرداس — الموضوع 01

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $h$ une forme linéaire continue sur $E$ différente de la forme linéaire nulle.

On pose $H = \ker h$. On veut établir que :

$$\forall u \in E, \quad d(u, H) = \frac{|h(u)|}{\|h\|}.$$

1. Prouver que

$$\frac{|h(u)|}{\|h\|} \le d(u, H).$$

2. Soit $0 < \varepsilon < \|h\|$. Justifier l'existence d'un vecteur $v \in E \setminus H$, tel que

$$\frac{|h(v)|}{\|h\| - \varepsilon} \ge \|v\|.$$

3. Montrer que l'on peut écrire $v = w - \alpha u$ avec $w \in H$, $\alpha \in \mathbb{K}^*$.

En déduire que

$$\frac{|h(u)|}{\|h\| - \varepsilon} > d(u, H).$$

Que peut-on conclure ?

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. On note :

$$B_E = \{x \in E,\ \|x\|_E \le 1\}.$$

Soit $T : E \longrightarrow F$ une application linéaire. On dit que $T$ est compacte si $\overline{T(B_E)}$ est compact dans $F$ pour la norme.

1. Vérifier qu'un compact dans un espace vectoriel normé est borné.

2. Montrer que si $T$ est compacte, alors $T$ est continue.

3. Montrer que si $T$ est compacte, $T$ vérifie la propriété suivante

$$\left[ x_n \longrightarrow x \text{ dans } E_w \implies Tx_n \longrightarrow Tx \text{ dans } F \right] \quad (1)$$

4. Si de plus $E$ est réflexif, montrer que si $T$ vérifie la propriété (1), alors $T$ est compacte.

$\mathcal{D}(\mathbb{R})$ est l'espace des fonctions de classe $C^\infty$ à support compact dans $\mathbb{R}$.

Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $0 \le \varphi(x) \le 1$ et dont le support est contenu dans $]1, 2[$.

On suppose que $\varphi(x) = 1$ pour tout $x \in\ ]a, b[$ où $a$ et $b$ sont des réels tels que $1 < a < b < 2$.

On pose : $\varphi_n(x) = e^{-n}\varphi(nx)$, $\forall n \ge 1$.

1. Montrer que $\varphi_n(x) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, $\forall n \ge 1$.

2. Calculer $\varphi_n^{(k)}$ (dérivée $k$-ième de $\varphi_n$) et montrer que $\varphi_n \longrightarrow 0$ dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.

3. On considère l'application linéaire $L : \mathcal{D}(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par

$$L(\varphi) = \int_{\mathbb{R}} e^{\frac{1}{x^2}}\varphi(x)\,dx$$

où $\mathcal{D}(\Omega)$ est l'espace des fonctions de classe $C^\infty$ à support dans $\Omega = \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Montrer que :

$$L(\varphi_n) \ge e^{-n}\int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} e^{\frac{1}{x^2}}\,dx$$

et que

$$L(\varphi_n) \ge \frac{b - a}{n}e^{n}$$

pour tout $n$ tel que $n - b^2 \ge b^2$.

4. Calculer $\lim_{n \to +\infty} L(\varphi_n)$ et déduire que $L$ n'est pas une forme linéaire continue sur $\mathcal{D}(\Omega)$.