مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة أمحمد بوقرة بومرداس — الموضوع 01

Soit $E$ un espace de Banach, $A$ le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction sur $E$ et $B \in \mathcal{L}(E)$ un opérateur continu sur $E$.

1. On fixe $g \in E$, $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer que l'équation

$$W + B(A + \lambda)^{-1}W = g$$

admet une unique solution $W \in E$ lorsque $\lambda$ est assez grand.

2. En déduire que l'opérateur $A + B$, défini par :

$$(A + B)u = Au + Bu \quad \text{pour tout } u \in D(A)$$

est le générateur d'un semi-groupe $S : \mathbb{R}_+ \to \mathcal{L}(E)$.

Donner une majoration de $\|S(t)\|_{\mathcal{L}(E)}$.

3. On se place dans un espace de Hilbert $H = \dot{H}^1(\mathbb{R}^n) \times L^2(\mathbb{R}^n)$ où $\dot{H}^1(\mathbb{R}^n)$ est l'espace de Sobolev homogène, c-à-d. le complété de $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ pour la norme

$$\|u\|_{\dot{H}^1(\mathbb{R}^n)} = \|\nabla u\|_{L^2} = \left( (2\pi)^{-n}\int |\xi|^2 |\hat{u}(\xi)|^2\,d\xi \right)^{\frac{1}{2}}$$

On munit l'espace de Hilbert $H$ du produit scalaire suivant :

$$\langle (u, v), (f, g) \rangle_H = \int \nabla u \cdot \overline{\nabla f}\,dx + \int v\bar{g}\,dx.$$

et on considère l'opérateur $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \Delta & 0 \end{pmatrix}$ de domaine $D(A) = H^2(\mathbb{R}^n) \times H^1(\mathbb{R}^n)$. Montrer que l'opérateur $A$ est maximal dissipatif. En déduire que $A$ engendre un $\mathcal{C}_0$ semi-groupe $S'$ sur $H$.

1. Soit $H$ un espace de Hilbert. On fait l'identification $H = H'$. Soit $T = \{T(t), t \ge 0\}$ tel que $T(0) = I$, $T(t + s) = T(t) \cdot T(s)$ et $\|T(t)\| \le Me^{wt}$, $M > 0$. On pose

$$f_t = \frac{1}{t}\int_0^t T(s)f\,ds.$$

Montrer que $\|T(h)f_t - f_t\| \to 0$ quand $h \to 0$.

2. On suppose que pour tout $f, g \in H$, l'application $t \longmapsto \langle T(t)f, g \rangle$ est continue.

Montrer que $T$ est un semi-groupe.

3. Soit $A : D(A) \to H$ un opérateur générant un semi-groupe $T$ sur $H$.

Montrer que $T^* = \{T(t)^*, t \ge 0\}$ est un semi-groupe.

On note $B$ son générateur infinitésimal.

4. Montrer que $B = A^*$.

Soit $U$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ et soient $u_1, u_2 \in \mathcal{C}^2([0,T] \times \overline{U})$ deux solutions de :

$$\begin{cases} \dfrac{du}{dt} - \Delta u = 0 & \text{sur } [0,T] \times U \\ u = \alpha & \text{sur } [0,T] \times \partial U \end{cases}$$

On suppose qu'au temps $T$, $u_1(T) = u_2(T)$.

1. On pose $W = u_1 - u_2$ et $g(t) = \int_U (W(t,x))^2\,dx$.

Montrer que

$$g'(t)^2 \le g(t)\,g''(t).$$

2. On suppose qu'il existe $[a, b] \subset [0, T]$ tel que $g > 0$ sur $[a, b]$. On pose alors $f(t) = \mathrm{Log}(g(t))$. Montrer que $f$ est convexe. ($\mathrm{Log}$ = log népérien).

3. En déduire que $u_1 = u_2$ sur $[0, T] \times U$.