مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 01

Soit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace des matrices carrées réelles de type $(n, n)$. Pour $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on définit deux normes :

$$\|A\|_1 = \sum_{1 \le i, j \le n} |a_{ij}| \quad \text{et} \quad \|A\|_s = \sup_{1 \le i, j \le n} |a_{ij}|.$$

1- Montrer que $\forall (A, B) \in (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2$ :

• a) $\exists \alpha > 0$ : $\|A \cdot B\|_1 \le \alpha\|A\|_1\|B\|_1$ ;
• b) $\exists \beta > 0$ : $\|A \cdot B\|_s \le \beta\|A\|_s\|B\|_s$.

2- Trouver deux matrices $A$ et $B$ telles que

$$\|A \cdot B\|_1 = \|A\|_1\|B\|_1.$$

3- Montrer que ces deux normes sont équivalentes.

4- Déterminer une relation d'inclusion entre les boules unités des deux normes.

5- Cette inclusion est-elle stricte ?

Soit $1 \le p \le +\infty$. On note $p' \in [1, +\infty]$ l'exposant conjugué de $p$ défini par la relation : $1 = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'}$ (avec la convention $\dfrac{1}{\infty} = 0$).

On considère l'espace $E = \mathbb{R}^n$ muni de la norme $\|\cdot\|_E = \|\cdot\|_p$, $\left(\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_i|^p\right)^{1/p}\right)$, et on note $E'$ son espace dual muni de la norme duale définie

$$\|L\|_{E'} = \sup_{x \neq 0} \frac{|L(x)|}{\|x\|_p}, \quad \forall L \in E'.$$

On note $(e_i)_{1 \le i \le n}$ la base canonique de $E$. On définit l'application :

$$\Phi : E' \longrightarrow E \ \text{ par : } \ \Phi(L) = (L(e_i))_{1 \le i \le n}.$$

1- Montrer que $\Phi$ est linéaire bijective.

2- Montrer que l'inverse de $\Phi$ est l'application $\Psi : E \longrightarrow E'$ telle que :

$$\Psi(y)(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$$

(on notera que $\Psi(y)(x)$ n'est autre que le produit scalaire de $x$ et de $y$ : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$).

3- On munit l'espace $E$ de la norme $\|\cdot\|_{p'}$.

a- Montrer l'inégalité suivante : $\|\Phi(L)\|_{p'} \le \|L\|_{E'}$. (Indication : utiliser le vecteur $x \in \mathbb{R}^n$, tel que $x_i = |(\Phi(L))_i|^{p'-2}(\Phi(L))_i$).

b- Montrer que $\Phi$ est une isométrie de $(E', \|\cdot\|_{E'})$ sur $(E, \|\cdot\|_{p'})$.