مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 01

L'exercice est composé de deux parties indépendantes (I) et (II).

(I) Le problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur avec un terme d'amortissement est donné par le système suivant :

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} - \kappa\Delta u + u = 0 & \text{si } t \ge 0,\ x \in \mathbb{R}^N, \\ u(x, 0) = u_0(x) & \text{si } x \in \mathbb{R}^N, \end{cases} \quad \text{(P-C)}$$

où $\kappa > 0$ représente le paramètre de conductivité de la chaleur.

(I.1) Supposons que $u_0 \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^N)$. En appliquant la transformation de Fourier partielle au problème de Cauchy (P-C), prouver que

$$\hat{u}(\xi, t) = \hat{u}_0(\xi)\,e^{-t}\,e^{-\kappa|\xi|^2 t}.$$

(I.2) Par Fourier inverse, prouver que

$$u(x, t) = \frac{e^{-t}}{(4\pi\kappa t)^{N/2}}\int_{\mathbb{R}^N} e^{-\frac{|x-y|^2}{4\kappa t}}\,u_0(y)\,dy.$$

(I.3) En s'appuyant sur (I.1), déduire que $u \in \mathscr{C}^\infty\left(\mathbb{R}_+^*;\ \mathscr{S}(\mathbb{R}^N)\right)$.

(I.4) En appliquant l'inégalité de Young :

(I.4.1) Prouver que $\|u(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} \le e^{-t}\|u_0\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}$, pour $t \ge 0$.

(I.4.2) En déduire que $\lim_{t \to +\infty} \|u(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} = 0$.

(I.5) Supposons maintenant que $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^N)$.

(I.5.1) Montrer que l'énergie associée au système (P-C) est donnée par

$$E(t) = \int_{\mathbb{R}^N} |u(x,t)|^2\,dx + 2\kappa\int_0^t\int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u(x,\tau)|^2\,dx\,d\tau + 2\int_0^t\int_{\mathbb{R}^N} |u(x,\tau)|^2\,dx\,d\tau.$$

(Indication : faire le produit scalaire de la première équation du système (P-C) dans $L^2(\mathbb{R}^N)$ et utiliser la formule de Green).

(I.5.2) Déduire que $E(t) = E(0)$. Que peut-on dire ?

(II) Soit $\Omega$ un ouvert régulier de $\mathbb{R}^N$. Le problème de Neumann consiste à trouver une solution $u$ du problème aux limites suivant :

$$\begin{cases} -\kappa\Delta u(x) + u(x) = 0 & \text{si } x \in \Omega, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \eta}(x) = 0 & \text{si } x \in \partial\Omega. \end{cases} \quad \text{(P-L)}$$

Ici, $\kappa$ est un paramètre strictement positif et $\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$ représente la dérivée dans la direction normale $\eta$.

(II.1) Établir une formulation variationnelle du problème (P-L) dans $H^1(\Omega)$.

(II.2) Montrer que le problème (P-L) admet une unique solution faible dans $H^1(\Omega)$.

(II.3) Montrer que la formulation variationnelle établie dans (II.1) est équivalente à $-\kappa\Delta u + u = 0$ dans $\mathscr{D}'(\Omega)$ et $\dfrac{\partial u}{\partial \eta} = 0$ sur $\partial\Omega$.

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ un ouvert borné régulier. Considérons le problème elliptique suivant :

$$\begin{cases} -\Delta u(x) = 1 & \text{si } x \in \Omega, \\ u(x) = 0 & \text{si } x \in \partial\Omega. \end{cases} \quad \text{(P-L)}$$

(1) Établir la formulation variationnelle du problème (P-L) sur un espace fonctionnel à préciser.

(2) Prouver que (P-L) admet une unique solution faible dans cet espace.

(3) Supposons que $\Omega = B(0, R)$ est une boule ouverte de rayon $R$ centrée à l'origine et que $u$ est une fonction radiale, c'est-à-dire $u(x) = u(r)$ avec $r = \|x\|$ pour $x \in B(0, R)$.

(3.1) Prouver que le problème aux limites (P-L) s'écrit comme une équation différentielle ordinaire, notée EDO. (Indication : écrire cette équation en coordonnées polaires).

(3.2) Résoudre cette EDO, et déduire l'expression explicite de la solution.