مسابقة دكتوراه 2018 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

Soit l'équation, dans $\mathbb{R}$ :

$$e^x = x. \qquad (1)$$

1. Discuter les racines de cette équation (nombre, localisation).

2. On transpose $(1)$ dans le champ complexe $\mathbb{C}$ :

$$e^z = z \quad \text{avec} \quad z = (x + iy) \in \mathbb{C}.$$

Réécrire $(1)$ sous la forme d'un système non linéaire d'ordre deux :

$$(S) \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases}$$

3. Afin d'approcher numériquement une solution de $(S)$, démarrer la méthode de Newton à partir de $X^{(0)} = (2, 8)$ et effectuer trois (03) itérations. Arrondir les résultats à quatre décimales.

4. Calculer la norme vectorielle euclidienne du dernier itéré.

On note $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la tribu borélienne sur $\mathbb{R}$, $\sigma(D)$ la tribu engendrée par $D$ et $A^c$ le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$.

1. Soient $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ et $A_1, A_2, \ldots, A_{100}$ des boréliens de $[0, 1]$ tels que $\sum_{k=1}^{100} \lambda(A_k) > 99$. Donner une majoration de $\lambda\left( \bigcup_{k=1}^{100} A_k^c \right)$.

2. On suppose que $\mathbb{R}$ est muni de la tribu $\mathcal{F}$ suivante :

$$\mathcal{F} = \{ A \subset \mathbb{R} \ \text{tel que}\ A \ \text{est dénombrable ou}\ A^c \ \text{est dénombrable} \}.$$

On pose $D = \{ \{x\},\ x \in \mathbb{R} \}$ et $\mu$ l'application définie sur $\mathcal{F}$ par :

$$\mu(A) = \begin{cases} 0 & \text{si } A \text{ est dénombrable} \\ 1 & \text{sinon} \end{cases}$$

(a) Montrer que $\sigma(D) = \mathcal{F}$.

(b) Montrer que $\mu$ est une mesure sur $(\mathbb{R}, \mathcal{F})$.

(c) Est-ce que $\mu$ reste une mesure si on considère la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ sur $\mathbb{R}$ au lieu de $\mathcal{F}$ ?

(d) Déterminer la classe des parties $\mu$-négligeables.

(e) Expliciter à quelles conditions une propriété est vraie $\mu$-presque partout sur $\mathbb{R}$.

(f) Soit $f$ une application mesurable positive définie sur $(\mathbb{R}, \mathcal{F})$. On suppose que $f = a\,\mathbf{1}_{A^c} + f\,\mathbf{1}_{A}$ avec $A$ une partie dénombrable de $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$. Calculer $\int_{\mathbb{R}} f\,d\mu$.

Démontrer que l'origine est stable pour une équation différentielle

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x), \qquad f(t, 0) = 0$$

si et seulement si, elle est stable pour l'équation qu'on déduit par transformation de coordonnées $x = S(t)y$, $S(t)$ définie et continûment dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $\|S(t)\|$ et $\|S^{-1}(t)\|$ bornées.