مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة عباس لغرور خنشلة — الموضوع 01

1- Montrer que la résolution du système tridiagonal $Ax = b$ où

$$A = \begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\ c & a & b & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & c & a & b \\ 0 & \cdots & 0 & c & a \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$$

revient à la résolution du système linéaire bidiagonal $BX = d$ suivant :

$$B = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & \beta_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \beta_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \alpha_n \end{pmatrix}, \quad d = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{pmatrix}$$

par une méthode de Gauss où les éléments de $B$ et de $d$ sont à déterminer en fonction des éléments de $A$ et de $b$.

2- En déduire une décomposition de type $A = LU$ sans faire de calcul. Expliquer seulement comment.

On veut résoudre numériquement l'équation suivante : $f(x) = e^{x} + x - 2 = 0$.

1- Vérifier graphiquement que cette équation possède une racine unique réelle $s$. Localiser cette racine dans un intervalle $[a, b]$ de longueur 1.

2- On se propose d'utiliser une méthode de points fixes pour calculer la racine $s$.

Parmi les choix suivants, laquelle ou lesquelles des méthodes $x = g_i(x)$ convergeraient vers $s$ si l'approximation initiale $x_0 \in I \subset [a, b]$ ?

a) $g_1(x) = 2 - e^{x}$

b) $g_2(x) = \ln(2 - x)$

3- Proposer une autre méthode qui converge plus rapidement que la ou les méthodes précédente(s).

4- Déterminer des valeurs de $x_0$ qui assurent la convergence de la méthode de Newton (Newton-Raphson).