مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة عباس لغرور خنشلة — الموضوع 01

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides fermées et disjointes dans un espace vectoriel normé $E$.

1. Montrer que, si $A$ est compact, alors $d(A, B) > 0$.

2. Donner un exemple dans $\mathbb{R}$, où $d(A, B) = 0$.

Cette limite

$$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{y^3}{(x-1)^2 + y^2}$$

existe-t-elle ?

On pose $X = [0, 1] \cup [2, 4[$.

1- Montrer que $[0, 1]$ est un ouvert de $X$ muni de la topologie induite.

Soit

$$f(x) = \begin{cases} 2, & \text{si } x \in [0, 1] \\ 1, & \text{si } x \in [2, 4[ \end{cases}$$

2- Montrer que $f$ est continue sur $X$.

1- Montrer que

$$0 \le \frac{1}{n} + \ln\left(\frac{n}{n+1}\right) \le \frac{1}{n(n+1)} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

2- Montrer que la série de terme général $u_n = \dfrac{1}{n} + \ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right)$ est convergente.

En déduire que la suite $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n$ admet une limite $l$.