مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

Une barre de longueur $L$, initialement à température nulle, est chauffée par une source de chaleur $P$, alors que ses deux extrémités sont maintenues à température nulle. On cherche à déterminer l'évolution de température dans la barre, solution de

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t) - \lambda \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) = P, & \text{pour } x \in ]0, L[, \ t > 0, \\ u(x, 0) = 0, & \text{pour } x \in ]0, L[, \\ u(0, t) = u(L, t) = 0, & \text{pour } t > 0, \end{cases} \qquad (1)$$

où $\lambda$ est une constante thermique donnée.

1. Déterminer la température à l'équilibre, notée $v(x)$.

2. On pose $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$. Montrer que $w$ vérifie la même équation avec une condition initiale non nulle.

3. Appliquer la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation en $w$, en fonction d'une condition initiale $w_0(x)$.

4. $w_0$ étant connue, calculer explicitement en fonction de $k$ et des paramètres du problème, les coefficients intervenant dans le développement en série de la solution.

5. En déduire l'expression du développement en série de $u$. Pouvait-on appliquer la méthode de séparation des variables directement sur l'équation de départ ? Justifiez votre réponse.

Soit $\varphi := \varphi(x,t)$ une fonction de classe $C^2$, solution de l'équation de transport suivante

$$\partial_t \varphi(x,t) - c\,\partial_x \varphi(x,t) = 0. \qquad (2)$$

1. On pose $h(t) = \varphi(y - ct, t)$, pour tout $y, t \in \mathbb{R}$. Calculer $h'(t)$.

2. Déduire la forme générale de la solution $\varphi$.

3. Considérons l'équation des ondes suivante

$$\partial_{tt} u(x,t) - c^2 \partial_{xx} u(x,t) = 0, \quad c > 0. \qquad (3)$$

a. Montrer que

$$\partial_{tt} u(x,t) - c^2 \partial_{xx} u(x,t) = (\partial_t - c\partial_x) \cdot (\partial_t + c\partial_x)\,u(x,t) = 0.$$

b. Déduire que la solution $u$ de l'équation $(3)$ satisfait

$$\partial_t u - c\,\partial_x u = \varphi, \qquad (4)$$

où $\varphi$ est une solution de l'équation $(2)$.

c. Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $g'(x - ct) = \varphi(x,t)$. Montrer que la fonction $u_1(x,t) := -\dfrac{1}{2c}\,g(x - ct)$ est une solution particulière de $(4)$.

d. Déduire la forme générale de la solution de $(3)$.

4. On dit que $u \in L_{loc}^1(\mathbb{R}^2)$ est une solution faible de $(3)$ si

$$\int\!\!\int_{\mathbb{R}^2} u \left[ \partial_{tt} \phi(x,t) - c^2 \partial_{xx} \phi(x,t) \right] dx\,dt = 0$$

pour tout $\phi \in C^2(\mathbb{R}^2)$ nulle en dehors d'un compacte.

— Si $u_n \in C^2(\mathbb{R}^2)$ est une solution de $(3)$ et $u_n$ converge vers $u$ dans $L_{loc}^2(\mathbb{R}^2)$, montrer que $u$ est une solution faible.