مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel

Soit $\Omega$ un ouvert borné et $\rho:\Omega\to\mathbb{R}$ mesurable telle que $\inf_{x\in\Omega}\rho(x)=\rho_0>0$. On pose

$ H_\rho^1={v\in L^2(\Omega):\nabla v\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega),\ \rho\nabla v\in L^2(\Omega)},

avec

$
\lVert v\rVert_{H_\rho^1}=\left(\lVert v\rVert_{L^2}^2+\lVert\rho\nabla v\rVert_{L^2}^2\right)^{1/2}.

1. Montrer que $H_\rho^1\subset H^1(\Omega)$ et que cette expression définit une norme.

2. On admet que $H_\rho^1$ est un Hilbert et que $H_{0,\rho}^1=H_\rho^1\cap H_0^1(\Omega)$ est fermé. Montrer que

$ \lVert v\rVert_{L^2(\Omega)}\leq\frac{C_p}{\rho_0}\lVert\rho\nabla v\rVert_{L^2(\Omega)},

et en déduire que $\lvert v\rvert_{H_{0,\rho}^1}=\lVert\rho\nabla v\rVert_{L^2}$ est une norme équivalente.

3. Pour $f\in L^2(\Omega)$, montrer que le problème

$
\int_\Omega\rho^2\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int_\Omega fv\,dx,\qquad \forall v\in H_{0,\rho}^1,

admet une unique solution et que

$\lvert u\rvert_{H_{0,\rho}^1}\leq\frac{C_p}{\rho_0}\lVert f\rVert_{L^2(\Omega)}. ``$

On considère

$ \begin{cases} -\Delta u=f, & \text{dans }\Omega,\ \dfrac{\partial u}{\partial\nu}+\alpha u=g, & \text{sur }\Gamma=\partial\Omega, \end{cases}

o├╣ $\alpha>0$, $f\in L^2(\Omega)$ et $g\in L^2(\Gamma)$.

1. Si $u\in H^2(\Omega)$ est solution, montrer qu’elle vérifie

$
a(u,v)=L(v),\qquad \forall v\in H^1(\Omega),

avec

$ a(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v,dx+\alpha\int_\Gamma uv,d\sigma,

$
L(v)=\int_\Omega fv\,dx+\int_\Gamma gv\,d\sigma.

2. Montrer la continuité de $a$ et $L$.

3. Démontrer par l’absurde l’inégalité de Poincaré-Friedrichs : il existe $\beta>0$ tel que

$ \int_\Omega\lvert\nabla v\rvert^2,dx+\alpha\int_\Gamma v^2,d\sigma\geq\beta\int_\Omega v^2,dx,

pour tout $v\in H^1(\Omega)$.

4. Montrer qu’il existe une unique solution faible $u\in H^1(\Omega)$ et qu’elle résout le problème aux limites.