مسابقة دكتوراه 2019 — Université des Sciences et de la Technologie d'Oran (USTO)

1. Soient l'espace $H = l^2(\mathbb{C}) = \left\{ \dot{x} = (x_n)_{n \geq 1} \subset \mathbb{C} : \sum_{n \geq 1} |x_n|^2 < +\infty \right\}$ et l'application $u : H \to H$ définie par

$u(\dot{x}) = \left(x_1, \frac{1}{2}x_2, \ldots, \frac{1}{n}x_n, \frac{1}{n+1}x_{n+1}, \ldots\right)$ ; où $\dot{x} = (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \in H$.

a) Montrer que $u$ est un opérateur linéaire borné auto-adjoint sur $E$.

b) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$ l'opérateur $u_n$ défini par $u_n(\dot{x}) = \left(x_1, \frac{1}{2}x_2, \ldots, \frac{1}{n}x_n, 0, 0, \ldots\right)$ ; où $\dot{x} = (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \in H$ est de rang fini.

c) En déduire que $u$ est compact et son spectre ponctuel n'est pas vide (i.e. $\sigma_p(u) \neq \phi$).

2. Soient $E$ un espace de Banach complexe et $T$ un opérateur linéaire borné sur $E$.

a) Montrer que $\forall \lambda, \mu \in \rho(T)$ : $R(\lambda) - R_T(\mu) = (\mu - \lambda)R(\lambda)R(\mu)$.

b) Montrer que l'application résolvante $R(\lambda) = (\lambda I - T)^{-1}$ est une application analytique sur $\rho(T)$ ; où $\rho(T)$ est l'ensemble résolvant.

Considérons le problème $(P)$ de minimisation suivant :

$\left\{\begin{array}{l}\min f(x) = \frac{1}{2}x^t D x + x^t c \\ Ax \leq b,\end{array}\right.$

où $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie positive, $c \in \mathbb{R}^n$, $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et $b \in \mathbb{R}^m$.

1. Donner la fonction de Lagrange associée à ce problème.

2. Donner les conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker associées à ce problème.

3. Déterminer la fonction duale $\Theta$ associée au lagrangien du problème $(P)$.

4. (i) Formuler le problème dual $(D)$ de $(P)$.

(ii) Donner la formule caractérisant la solution $\overline{\lambda}$ de $(D)$.

(iii) Donner une condition suffisante pour que $(D)$ ait une solution unique.

1. Soient l'espace $E = l^\infty(\mathbb{C})$ des suites complexes $\dot{x} = (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ muni de la norme $\|\dot{x}\|_\infty = \sup_{n \in \mathbb{N}^*} \left(|x_n|\right)$ et l'opérateur linéaire $u : E \to E$ défini par $u(\dot{x}) = (x_2, x_3, x_4, \ldots, x_n, \ldots)$.

a) Montrer que l'opérateur $u$ est borné et calculer sa norme $\|u\|$.

b) Déterminer le spectre ponctuel $[\sigma_p(u)]$ et le spectre $[\sigma(u)]$ de l'opérateur $u$.

2. Soient $H$ un espace de Hilbert complexe et $T$ un opérateur linéaire borné sur $H$.

a) Montrer que si $T$ est normal alors, $\forall x \in H$ on a : $\|Tx\| = \|T^*x\|$.

b) Montrer que si $T$ est unitaire alors, $\forall x \in H$ on a : $\|Tx\| = \|T^*x\| = \|x\|$.

c) Montrer que si $T$ est auto-adjoint alors : $\forall x \in H$ on a : $\|T^n x\|^2 \leq \|T^{n-1}x\| \cdot \|T^{n+1}x\|$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.