مسابقة دكتوراه 2019 — USTO

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x) = |x|$ si $|x| \leq \pi$.

1. Déterminer la série de Fourier de $f$.

2. Calculer

$$\int_{-\pi}^{\pi} |x|^2 \, dx$$

En déduire la valeur de

$$\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{(2p+1)^4}$$

3. Calculer

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$$

4. Montrer que

$$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\cos(2p+1)x}{(2p+1)^2}$$

En déduire les valeurs de

$$\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{(2p+1)^2} \quad \text{puis} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

On veut exprimer les équations de Cauchy-Riemann avec les coordonnées polaires $r$ et $\theta$. Les équations de Cauchy-Riemann peuvent s'écrire sous la forme :

$$\left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right) F = 0$$

donc il s'agit d'exprimer $\dfrac{\partial}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial}{\partial y}$ en fonction de $\dfrac{\partial}{\partial r}$ et de $\dfrac{\partial}{\partial \theta}$. Lorsque l'on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l'origine) sur lequel une détermination continue de l'argument $\theta$ est possible (par exemple sur $\Omega = \mathbb{C} \setminus ]-\infty, 0]$). Montrer :

$$\frac{\partial}{\partial r} = \cos(\theta) \frac{\partial}{\partial x} + \sin(\theta) \frac{\partial}{\partial y}$$ $$\frac{\partial}{\partial \theta} = -r \sin(\theta) \frac{\partial}{\partial x} + r \cos(\theta) \frac{\partial}{\partial y}$$

En déduire

$$\frac{\partial}{\partial x} = \cos(\theta) \frac{\partial}{\partial r} - \sin(\theta) \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \quad \text{et} \quad \frac{\partial}{\partial y} = \sin(\theta) \frac{\partial}{\partial r} + \cos(\theta) \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}$$

Montrer alors :

$$\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} = e^{i\theta} \left(\frac{\partial}{\partial r} + i \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\right) = e^{i\theta} \frac{1}{r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} + i \frac{\partial}{\partial \theta}\right)$$

En déduire qu'en coordonnées polaires les équations de Cauchy-Riemann peuvent s'écrire (en particulier) sous la forme :

$$\frac{\partial F}{\partial \theta} = ir \frac{\partial F}{\partial r}$$