مسابقة دكتوراه 2019 — USTO

Soit $T$ la forme linéaire définie sur $\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$ par

$$\langle T, \varphi \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|x| \geq \varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x} \, dx$$

1. Montrer que $T$ est une distribution sur $\mathbb{R}$ d'ordre $\leq 1$.

Indication : Utiliser la formule de Taylor $\varphi(x) = \varphi(0) + x\psi(x)$ où $\psi(x) = \int_0^1 \varphi'(tx) \, dt$, et que pour chaque compact $K$ de $\mathbb{R}$ il existe $M > 0$ tel que $K \subset [-M, M]$.

2. Montrer que $T$ est d'ordre exactement 1 (i.e. $T \in \mathcal{D}'^{(1)}(\mathbb{R})$ et $T \notin \mathcal{D}'^{(0)}(\mathbb{R})$).

Indication : Suivre un raisonnement par absurde et considérer une suite $(\varphi_n) \subset \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$ telle que $0 \leq \varphi_n \leq 1$, $\varphi_n = 1$ sur $\left[\dfrac{1}{n}, 1\right]$ et $\operatorname{supp} \varphi_n \subset \left[\dfrac{1}{2n}, 2\right]$.

On considère le problème $(P)$ suivant :

$$\min_{(s,y) \in \mathbb{R}^2} \, s \qquad \text{s.c.} \quad \begin{cases} y + s \geq \dfrac{3}{4}, \\ -y + s \geq 0, \\ s \geq 0. \end{cases}$$

On associe respectivement les multiplicateurs de Lagrange $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$ à la première, deuxième et troisième contrainte du problème $(P)$.

1. Écrire les conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker associées à ce problème.

2. On s'intéresse maintenant à la résolution des conditions de Karush-Kuhn-Tucker.

• Est-il possible d'avoir $s = 0$ dans $(P)$ ? En déduire la valeur de $\lambda_3$.
• Trouver alors $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
• En utilisant les conditions de complémentarité, en déduire la solution de $(P)$.

3. Écrire la fonction duale $q(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ relative au problème $(P)$.

4. Donner le problème dual $(D)$ de $(P)$.

5. Évaluer la fonction duale $q$ au point trouvé en 2. En déduire que ce point est solution du problème dual.

1. Montrer que

$$\forall \psi \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}) \text{ et } \psi(0) = 0, \; \exists \, \phi \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}) \text{ tel que } \psi = x\phi$$

Indication : Utiliser la formule de Taylor $\psi(x) = \psi(0) + x \int_0^1 \psi'(tx) \, dt$.

2. Soit $T$ une distribution sur $\mathbb{R}$ telle que $xT = 0$. Montrer que $T = C\delta$, où $C \in \mathbb{C}$ et $\delta$ est la distribution de Dirac.

Indication : Considérer $\theta \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$ tel que $\theta = 1$ sur un voisinage de 0, et pour $\varphi \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R})$ poser $\psi = \varphi - \varphi(0)\theta$.