مسابقة دكتوراه 2023 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ admettant des dérivées partielles d'ordre 2. Soit $g = (g_1, g_2)$ la fonction de $\mathbb{R}_+ \times [0, 2\pi[$ dans $\mathbb{R}^2$ définie en posant pour chaque élément $(r, \theta)$ de $\mathbb{R}_+ \times [0, 2\pi[$ :

$g(r, \theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta).$

1. On pose $F = f \circ g$. Calculer

$\frac{\partial F}{\partial r}(r, \theta), \quad \frac{\partial F}{\partial \theta}(r, \theta)$

en fonction de $r, \theta, \frac{\partial f}{\partial x}(g(r, \theta)), \frac{\partial f}{\partial y}(g(r, \theta))$

2. Calculer

$\frac{\partial f}{\partial x}(g(r, \theta)), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(g(r, \theta)), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(g(r, \theta)) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(g(r, \theta))$

en fonction de $r, \theta$ et des dérivées partielles de $F$.

Pour $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geq 2$, on définit une fonction $f_n$ sur $I = [0, +\infty[$ par

$f_n(x) = \frac{xe^{-nx}}{\ln n}.$

1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0, +\infty[$. On notera $S$ la somme de cette série de fonctions.

2. Montrer que $\sum f_n$ converge normalement sur tout intervalle $[a, +\infty[$ où $a > 0$, mais pas sur $[0, +\infty[$.

3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$.

4. Montrer que $S$ est continue sur $[0, +\infty[$ et de classe $C^1$ sur tout segment $[a, b]$ de $]0, +\infty[$.