مسابقة دكتوراه 2021 — Université Mohamed El Bachir El Ibrahimi - Bordj Bou Arréridj — الموضوع 03

On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$ des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme uniforme $|\cdot|$. On fixe un ensemble $K\subset B_E(0,1)$ compact. Posons

$$S:E\to\mathbb{R},\qquad \varphi\mapsto S(\varphi)=\varphi(0).$$

1. Montrez que $S$ est une application continue.

2. Montrez que la constante $a_K=\sup_K|S(\varphi)|$ existe et qu'elle est atteinte.

3. Posons $b_K=\sup_K|S(\varphi)|$. Montrez que $a_K\leq b_K$.

Soient $p\in[1,\infty]$ et $p'$ son exposant conjugué. Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de $L^p(\mathbb{R}^N)$. On suppose que $f_n\to f$ p.p. dans $L^p(\mathbb{R}^N)$.

1. Montrer que si $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de $L^{p'}(\mathbb{R}^N)$ telle que $g_n\to g$ dans $L^{p'}(\mathbb{R}^N)$, alors

$$f_ng_n\xrightarrow[n\to\infty]{}fg\quad\text{dans }L^1(\mathbb{R}^N).$$

2. Montrer que si $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ telle que $g_n\to g$ p.p. sur $\mathbb{R}^N$ et qu'il existe une constante $M>0$ telle que $\lVert g\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\leq M$, alors

$$f_ng_n\xrightarrow[n\to\infty]{}fg\quad\text{dans }L^p(\mathbb{R}^N).$$

Soit $E=\mathcal{C}_b(\mathbb{R},\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions continues bornées muni de la norme uniforme $\lVert f\rVert=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)|$.

Soient $\overline{B}(0,\frac{5}{4})$ la boule fermée de $E$ de centre 0 et de rayon $\frac{5}{4}$ et $T$ l'application de $E$ dans $E$ définie par : pour tout $f\in E$

$$(Tf)(x)=\frac{1}{4}\cos(f^2(x))+e^{-|x|},\quad\forall x\in\mathbb{R}.$$

1. Expliquer pourquoi $\overline{B}(0,\frac{5}{4})$ est un espace métrique complet.

2. Montrer que pour tout $f\in E$ on a $\lVert Tf\rVert\leq\frac{5}{4}$.

3. En déduire que $T$ envoie la boule $\overline{B}(0,\frac{5}{4})$ sur elle-même (i.e. $T(\overline{B}(0,\frac{5}{4}))\subset\overline{B}(0,\frac{5}{4})$).

4. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que

$$\forall f,g\in\overline{B}(0,\tfrac{5}{4}),\quad\lVert Tf-Tg\rVert\leq\frac{5}{8}\lVert f-g\rVert.$$

5. En déduire que l'équation $Tf=f$ admet une unique solution dans la boule $\overline{B}(0,\frac{5}{4})$, notée $F$. Vérifier que

$$(\star)\quad F(x)=\frac{1}{4}\cos(F^2(x))+e^{-|x|},\quad\forall x\in\mathbb{R}.$$

6. Soit $\tilde{F}(x)=F(-x)$. Vérifier que $\tilde{F}\in\overline{B}(0,\frac{5}{4})$ et qu'elle est aussi solution de l'équation $(\star)$.

7. En déduire que $F$ est paire.