مسابقة دكتوراه 2021 — Université Mohamed El Bachir El Ibrahimi - Bordj Bou Arréridj — الموضوع 04

Soit $a,b>0$. On pose pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ :

$ N(x,y)=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2},\qquad N_2(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.

On admet que $N$ et $N_2$ définissent deux normes sur $\mathbb{R}^2$.

1. Dessiner la boule fermée de $(\mathbb{R}^2,N)$ de centre 0 et de rayon 1.

2. La norme $N$ est-elle équivalente à la norme euclidienne $N_2$ ?

3. Déterminer : $\displaystyle\inf_{(x,y)\neq(0,0)}\frac{N(x,y)}{N_2(x,y)}$, $\displaystyle\sup_{(x,y)\neq(0,0)}\frac{N(x,y)}{N_2(x,y)}$.

4. Montrer que l'application linéaire $\mathrm{Id}:(\mathbb{R}^2,N_2)\to(\mathbb{R}^2,N)$ est un homéomorphisme. Calculer sa norme $\lVert\mathrm{Id}\rVert$.

Soit $v\in C^1([0,1])$ tel que $v(0)=v(1)=0$.

1. Montrer que :

$ \int_0^1|v(x)|^2,dx\leq\frac{1}{2}\int_0^1|v'(x)|^2,dx.

2. Montrer que l'on peut raffiner cette majoration et obtenir :

$
\int_0^1|v(x)|^2\,dx\leq\frac{1}{8}\int_0^1|v'(x)|^2\,dx.
``$

Soit $H=L^2(0,1)$ et $T:H\to H$ définie par : $Tf(x)=\int_0^x(x-t)f(t)\,dt$.

1. Montrer que $\lVert T\rVert<1$.

2. Montrer que pour $n\geq 1$, on a :

$ T^nf(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^{2n-1}}{(2n-1)!}f(t),dt.

3. Résoudre l'équation intégrale :

$
f(x)=g(x)+\int_0^x(x-t)f(t)\,dt,

avec $g\in H$ donnée et $f\in H$ l'inconnue.