مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 05

1.

$E[X_t]=0$ (intégrale d'Itô). Par isométrie : $\text{Var}(X_t)=\int_0^t s^2\,ds=\dfrac{t^3}{3}$.

2. Loi de X_t

$X_t=\int_0^t s\,dB_s$ avec $s$ déterministe : processus gaussien. Donc $\boxed{X_t\sim\mathcal{N}\!\left(0,\dfrac{t^3}{3}\right)}$.

3. d(tB_t) par Itô

$d(tB_t)=t\,dB_t+B_t\,dt$

4. Relation X_t — Y_t

En intégrant $d(tB_t)$ : $tB_t=\int_0^t s\,dB_s+\int_0^t B_s\,ds=X_t+Y_t$.

$\boxed{Y_t = tB_t - X_t}$

5a. Variance de Y_t (directe)

$\text{Var}(Y_t)=E\!\left[\left(\int_0^t B_s\,ds\right)^2\right]=\int_0^t\int_0^t E[B_s B_u]\,ds\,du=\int_0^t\int_0^t \min(s,u)\,ds\,du=\dfrac{t^3}{3}$.

5b. Via covariance

$\text{Var}(Y_t)=\text{Var}(tB_t-X_t)=t^2\cdot t-2t\cdot\text{Cov}(B_t,X_t)+\dfrac{t^3}{3}$

$\text{Cov}(B_t,X_t)=\int_0^t s\,E[B_s dB_s]=\int_0^t s\,ds/\ldots=\dfrac{t^2}{2}$ (par isométrie).

Donc $\text{Var}(Y_t)=t^3-2t\cdot\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}=\dfrac{t^3}{3}$. ✓

6. Loi de Y_t

$Y_t=tB_t-X_t$ est gaussien (combinaison de gaussiens). $E[Y_t]=0$, $\text{Var}(Y_t)=\frac{t^3}{3}$.

$\boxed{Y_t\sim\mathcal{N}\!\left(0,\frac{t^3}{3}\right)}$

7. Z_t et H_t

$E[Z_t]=0$, $\text{Var}(Z_t)=\int_0^t e^{2s}\,ds=\dfrac{e^{2t}-1}{2}$.

$E[H_t]=0$, $\text{Var}(H_t)=e^{-2t}\text{Var}(Z_t)=\dfrac{1-e^{-2t}}{2}$.

1. Stationnarité

La famille est échangeable, donc invariante par toute permutation des indices. En particulier, $(X_{k},X_{k+1},\ldots,X_{k+n-1})$ a même loi que $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ pour tout $k$ : stationnarité.

2. Variance et corrélation positive

$\text{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=n\text{Var}(X_1)+n(n-1)\text{Cov}(X_1,X_2)\geq 0$

En divisant par $n$ et faisant $n\to\infty$ : $\text{Cov}(X_1,X_2)\geq 0$.

3. Construction

Avec $Y_0,Y_1,\ldots$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$, $X_i=m+aY_0+bY_i$ est gaussien. Pour tout $n$ et toute permutation $\sigma$, le vecteur $(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})$ a même loi que $(X_1,\ldots,X_n)$ car $\{Y_i\}_{i\geq 1}$ est i.i.d. Donc $(X_n)$ est échangeable.

4. De Finetti

Posons $Z=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ (lim. p.s. par ergodicité). Sachant $Z=z$, $E[X_i|Z]=z$ et $\text{Cov}(X_i,X_j|Z)=0$ (gaussiens décorrélés donc indépendants). Donc les $X_i$ sont conditionnellement i.i.d. sachant $Z$.

1. Covariance de N(t) et N(s)

Pour $s\leq t$ : $N(t)=N(s)+(N(t)-N(s))$ avec $N(t)-N(s)$ indépendant de $N(s)$.

$\text{Cov}(N(t),N(s))=E[N(t)N(s)]-(\lambda t)(\lambda s)$

$E[N(t)N(s)]=E[N(s)^2]+E[N(s)]\cdot E[N(t)-N(s)]=(\lambda s+\lambda^2 s^2)+\lambda s\cdot\lambda(t-s)=\lambda s+\lambda^2 st$

$\boxed{\text{Cov}(N(t),N(s))=\lambda s=\lambda\min(t,s)}$

2. E[Y(t)]

Par la formule de Wald :

$E[Y(t)]=E\!\left[\sum_{i=1}^{N(t)} Z_i\right]=E[N(t)]\cdot E[Z_1]=\lambda t\cdot\mu=\mu\lambda t$

3. Z(t) martingale

Intégrabilité : $E[|Z(t)|]\leq E[|Y(t)|]+\mu\lambda t=2\mu\lambda t\lt\infty$.

Propriété de martingale : Pour $s\leq t$ : $E[Z(t)|\mathcal{F}_s]=E[Y(t)-\mu\lambda t|\mathcal{F}_s]=Y(s)+E[Y(t)-Y(s)|\mathcal{F}_s]-\mu\lambda t$ $=Y(s)+\mu\lambda(t-s)-\mu\lambda t=Y(s)-\mu\lambda s=Z(s)$

car l'incrément $Y(t)-Y(s)$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ et d'espérance $\mu\lambda(t-s)$. Donc $Z(t)$ est une martingale. $\blacksquare$