مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 02

Soit $\Omega$ un ouvert borné et $\rho : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction mesurable tel que

$$\inf \{ \rho(x) \mid x \in \Omega \} = \rho_0 > 0.$$

On pose

$$H_\rho^1 = \left\{ v \in L^2(\Omega) \mid \nabla v \in L_{loc}^1(\Omega) \ \text{et} \ \rho \nabla v \in L^2(\Omega) \right\},$$

et on considère l'application $\|\cdot\|_{H_\rho^1}$ définie pour tout $v \in H_\rho^1$ par

$$\|v\|_{H_\rho^1} = \left( \|v\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|\rho \nabla v\|_{L^2(\Omega)}^2 \right)^{\frac{1}{2}}.$$

1. Montrer que $H_\rho^1 \subset H^1(\Omega)$ et que $\|\cdot\|_{H_\rho^1}$ est une norme sur $H_\rho^1$.

2. On admettra que $H_\rho^1$, muni de la norme $\|\cdot\|_{H_\rho^1}$, est un espace de Hilbert et que $H_{0,\rho}^1 = H_\rho^1 \cap H_0^1(\Omega)$ est un sous-espace fermé de $H_\rho^1$. Montrer que

$$\|v\|_{L^2(\Omega)} \le \frac{C_P}{\rho_0} \|\rho \nabla v\|_{L^2(\Omega)} \qquad \forall v \in H_{0,\rho}^1,$$

où $C_P$ est la constante de Poincaré. En déduire que la semi-norme $|\cdot|_{H_{0,\rho}^1}$ définie par

$$|v|_{H_{0,\rho}^1} = \|\rho \nabla v\|_{L^2(\Omega)}$$

est une norme sur $H_{0,\rho}^1$ équivalente à $\|\cdot\|_{H_\rho^1}$.

3. Soit $f \in L^2(\Omega)$. Montrer que le problème variationnel suivant

$$\begin{cases} \text{Trouver } u \in H_{0,\rho}^1 \text{ tel que} \\ \displaystyle\int_\Omega \rho^2 \nabla u \cdot \nabla v\,dx = \int_\Omega f v\,dx \qquad \forall v \in H_{0,\rho}^1 \end{cases}$$

admet une solution unique. De plus, cette solution satisfait l'estimation suivante

$$|u|_{H_{0,\rho}^1} \le \frac{C_P}{\rho_0} \|f\|_{L^2(\Omega)}.$$

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^N$ de frontière $\Gamma$ suffisamment régulière. On souhaite résoudre le problème elliptique suivant, avec conditions aux limites de type Robin (ou Fourier)

$$\begin{cases} -\Delta u = f & \text{dans } \Omega, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} + \alpha u = g & \text{sur } \Gamma, \end{cases} \qquad (1)$$

où $\alpha > 0$, $f \in L^2(\Omega)$ et $g \in L^2(\Gamma)$ sont donnés.

1. On suppose que le problème $(1)$ admet une solution $u \in H^2(\Omega)$. Montrer qu'alors $u$ est solution du problème variationnel

$$a(u, v) = L(v), \quad \forall v \in H^1(\Omega), \qquad (2)$$

où

$$a(u, v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\,dx + \alpha \int_\Gamma u v\,d\sigma,$$

et

$$L(v) = \int_\Omega f v\,dx + \int_\Gamma g v\,d\sigma.$$

2. Montrer la continuité de la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ et de la forme linéaire $L$.

3. Pour montrer la coercivité de $a(\cdot, \cdot)$, nous allons d'abord établir une inégalité de type Poincaré.

Inégalité de Poincaré-Friedrichs : Soit $\Omega$ un ouvert borné de classe $C^1$. Alors pour tout $\alpha > 0$, il existe une constante $\beta > 0$ telle que

$$\int_\Omega |\nabla v|^2\,dx + \alpha \int_\Gamma v^2\,d\sigma \ge \beta \int_\Omega v^2\,dx, \quad \forall v \in H^1(\Omega). \qquad (3)$$

On souhaite faire une démonstration par l'absurde de ce résultat :

(a) Écrire la négation de l'affirmation $(3)$. En déduire qu'il existe une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $H^1(\Omega)$ telle que $\|v_n\|_{0,\Omega} = 1$ vérifiant

$$\int_\Omega |\nabla v_n|^2\,dx + \alpha \int_\Gamma v_n^2\,d\sigma < \frac{1}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

(b) Montrer que $(v_n)$ est bornée dans $H^1(\Omega)$. Utiliser ensuite un résultat de compacité pour en déduire qu'on peut en extraire une sous-suite $(v_{n_k})$ qui converge dans $L^2(\Omega)$.

(c) Montrer que $(v_{n_k})$ converge dans $H^1(\Omega)$.

(d) Conclure en utilisant la continuité de l'application trace $\gamma_0$.

4. Montrer qu'il existe une unique solution $u \in H^1(\Omega)$ au problème $(2)$ et que $u$ est aussi solution de $(1)$.