مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — الموضوع 02

On considère

$ y'''+4y''=-5xy'-2y-3\sin x.

1. Écrire cette équation sous forme normale.
2. Dire si elle est linéaire ou non et donner son ordre, en justifiant.

Trouver la solution de l’équation

$ y'=y''

sous forme d’une série entière, en posant

$
y(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n.
``$

A. Soit

$ \frac{dy}{dx}-p(x)y=q(x)+s(x)y^2,

o├╣ $p,q,s$ sont continues sur un intervalle $I$.

1. Quel est le type de cette équation ?
2. Par le changement $y=y_p+u$, où $y_p$ est une solution particulière, montrer que

$
u'-p(x)u=2s(x)y_pu+s(x)u^2.

3. Quel est le type de l’équation obtenue ?
4. La résoudre en déterminant l’intervalle d’existence du mieux possible.

B. Soit

$ y'=-\frac4{x^2}-\frac1xy+y^2,\qquad y(1)=1.

1. Donner l’intervalle maximal sur lequel on peut résoudre l’équation.
2. Justifier existence et unicité.
3. Trouver $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $y_p=\frac\alpha x$ soit une solution particulière.
4. Résoudre l’équation et déterminer si la solution est maximale ou globale dans $\mathbb{R}$.