مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1

Concours d'accès à la formation de troisième cycle « Doctorat LMD », Intitulé du doctorat : Mathématiques pures et applications, Examen : Mathématiques générales, Coefficient 1, Université Mohamed Boudiaf - M'sila, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Département de Mathématiques — 02/11/2019 (13h00-14h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Algèbre linéaire et applications linéaires

#linear-algebra#kernel-image#linear-forms#determinant

(2 pts) Soient $E, F, G$ trois espaces vectoriels, $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications linéaires. Prouver que : $g \circ f = 0$ si et seulement si $\text{Im}\,f \subseteq \text{Ker}\,g$ .
(2 pts) Expliquer pourquoi les deux colonnes de la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ forment une base de $\mathbb{R}^2$ si et seulement si le déterminant $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0$ .
(3 pts) Soient $f_1, f_2 \in L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ (formes linéaires de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ ) définis par $f_1(x,y) = x + y$ et $f_2(x,y) = x - y$ . a. Montrer que la famille $(f_1, f_2)$ forme une base de $L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ . b. Exprimer les formes linéaires $g(x,y) = x$ et $h(x,y) = 2x - 6y$ dans la base $(f_1, f_2)$ .

◀الحل

1.

$(\Rightarrow)$ Si $g \circ f = 0$ , pour tout $y \in \text{Im}\,f$ , $y = f(x)$ et $g(y) = g(f(x)) = 0$ , donc $y \in \text{Ker}\,g$ . $(\Leftarrow)$ Si $\text{Im}\,f \subseteq \text{Ker}\,g$ , pour tout $x$ , $f(x) \in \text{Ker}\,g$ , donc $g(f(x)) = 0$ .

\boxed{g \circ f = 0 \iff \text{Im}\,f \subseteq \text{Ker}\,g}

2.

Deux vecteurs forment une base de $\mathbb{R}^2$ ssi ils sont linéairement indépendants, ce qui équivaut à dire que le déterminant de la matrice qu'ils forment est non nul.

\boxed{\text{Base} \iff \det \neq 0}

3.a.

$\dim L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) = 2$ . Il suffit de montrer que $f_1, f_2$ sont indépendantes : si $\alpha f_1 + \beta f_2 = 0$ , alors $(\alpha+\beta)x + (\alpha-\beta)y = 0$ pour tout $(x,y)$ , d'où $\alpha = \beta = 0$ .

3.b.

$g = \frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2$ . $h = -2f_1 + 4f_2$ (vérification : $-2(x+y)+4(x-y) = 2x-6y$ ).

\boxed{g = \frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2, \quad h = -2f_1 + 4f_2}

التمرين 2

Exercice 2 — Ouverts, fermés et ensembles dans R²

#topology#open-sets#closed-sets#continuous-functions

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On introduit les ensembles

A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \gt 0\}, \quad B = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \geq 0\}

C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \gt f(x)\}, \quad D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq f(x)\}

(2 pts) Démontrer que $A$ est ouvert et $B$ est fermé.
(2 pts) Démontrer que $C$ est ouvert et $D$ est fermé.
(2 pts) Comparer, au sens de l'inclusion, $A$ avec $\mathring{B}$ et $\bar{A}$ avec $B$ . Chercher des contre-exemples pour les inclusions fausses.

◀الحل

1.

$A = f^{-1}(]0,+\infty[)$ . Comme $f$ est continue et $]0,+\infty[$ est ouvert, $A$ est ouvert. $B = f^{-1}([0,+\infty[)$ . Comme $[0,+\infty[$ est fermé, $B$ est fermé.

\boxed{A \text{ ouvert, } B \text{ fermé}}

2.

$C = \{(x,y) : y - f(x) \gt 0\} = g^{-1}(]0,+\infty[)$ où $g(x,y) = y - f(x)$ est continue. Donc $C$ est ouvert. De même $D = g^{-1}([0,+\infty[)$ est fermé.

\boxed{C \text{ ouvert, } D \text{ fermé}}

3.

On a toujours $A \subseteq \mathring{B}$ et $\bar{A} \subseteq B$ . Contre-exemple pour $\mathring{B} \subseteq A$ : $f(x) = x^2$ , alors $0 \in B$ mais $f(0) = 0$ , donc $0 \notin A$ . Et $0 \in \mathring{B}$ car $B = \mathbb{R}$ . Contre-exemple pour $B \subseteq \bar{A}$ : prendre $f(x) = -1$ pour $|x| \leq 1$ , $f$ continue, $B \cap [-1,1] \neq \emptyset$ mais $A \cap [-1,1] = \emptyset$ .

\boxed{A \subseteq \mathring{B} \text{ et } \bar{A} \subseteq B \text{ (inclusions strictes en général)}}

التمرين 3

Exercice 3 — Approximation numérique par différences finies

#finite-differences#numerical-methods#boundary-value-problem#approximation

Soit $f \in C^2([0,1])$ , le but est de calculer une approximation $u : [0,1] \to \mathbb{R}$ du problème suivant

(\mathcal{P}) \begin{cases} -u''(x) + \frac{1}{x+1} u'(x) = f(x), & x \in ([0,1]) \\ u(0) = a \\ u(1) = b \end{cases}

On admet que ce problème admet une et une seule solution $u \in C^4([0,1])$ . On cherche une solution approchée de $(\mathcal{P})$ par la méthode des différences finies. Soit $N \in \mathbb{N}^*$ , on pose $h = \frac{1}{N+1}$ . On note $u_i$ la valeur approchée de $u$ au point $x_i$ , pour $i = 1, \ldots, N$ . On utilise les approximations centrées de $u'(x)$ et $u''(x)$ aux points $x_i$ . On pose $u_h = (u_1, u_2, \ldots, u_N)^T$ .

Montrer que $u_h$ est solution d'un système linéaire de la forme $A_h u_h = b_h$ où $A_h \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ et $b_h \in \mathbb{R}^N$ sont à déterminer.
Montrer que le schéma numérique obtenu est consistant, donner une majoration de l'erreur de consistance ( $u \in C^4([0,1])$ ).

◀الحل

1.

En utilisant les différences finies centrées : $u''(x_i) \approx \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$ et $u'(x_i) \approx \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}$ . Le schéma donne :

-\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2} + \frac{1}{x_i+1}\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} = f_i

Soit $a_i = \frac{1}{x_i+1}$ . On obtient le système tridiagonal $A_h u_h = b_h$ avec $A_h$ ayant sur la diagonale $\frac{2}{h^2}$ et sur les sous/sur-diagonales $-\frac{1}{h^2} \mp \frac{a_i}{2h}$ .

\boxed{A_h u_h = b_h \text{ (système tridiagonal)}}

2.

Par développement de Taylor à l'ordre 4 : l'erreur de troncature est $O(h^2)$ pour les deux approximations (centrées). Donc l'erreur de consistance est $\|T_h\|_\infty \leq Ch^2$ où $C$ dépend de $\|u\|_{C^4}$ .

\boxed{\text{Consistance d'ordre } O(h^2)}

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