مسابقة دكتوراه 2012 — Université Mouloud Mammeri - Tizi Ouzou — الموضوع 03

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 3سا

JSON import — Université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou 2012 — UMMTO - Concours de la formation doctorale 12.12.12 - Epreuve d'equations differentielles ordinaires - Source: 9-univ PDF page 56 (manuscrit).

التمرين 1

Ex1 - Quatre EDO : y''-2y'+y=e^x, EDO non lineaire, Bernoulli

#EDO#lineaire#Bernoulli

Resoudre :

$y'' - 2y' + y = e^x$
Une EDO non lineaire d'ordre 3
$\frac{dy}{dx} - \cos(x)y = \cos(x)y^2$ (equation de Bernoulli)

التمرين 2

Ex2 - Substitution t=phi(x) dans xy''-y'-4x^3 y=0

#EDO#changement de variable

Eliminer la premiere derivee par la substitution de la variable independante $t = \varphi(x)$ dans l'equation $xy'' - y' - 4x^3 y = 0$ et la resoudre.

التمرين 3

Ex3 - Systeme dx/dt=x+y+2e^{-t}, dy/dt=4x+y+4e^{-t}

#EDO#systemes differentiels#variation de la constante

Soit le systeme :

\frac{dx}{dt} = x + y + 2e^{-t}, \quad \frac{dy}{dt} = 4x + y + 4e^{-t}.

Sachant que $\begin{pmatrix}0 \\ -2e^{-t}\end{pmatrix}$ est une solution particuliere, donner la solution generale.

التمرين 4

Ex4 - Existence et unicite de dy/dx=3xy^{1/3}, y(0)=0

#EDO#existence#unicite#Cauchy-Lipschitz

Etudier l'existence et l'unicite de la solution du probleme :

\frac{dy}{dx} = 3x y^{1/3}, \quad y(0) = 0

dans le domaine $D = \{(x,y) \mid -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2},\; -1 \le y \le 1\}$ .

التمرين 5

Ex5 - Orbites du systeme dx/dt=2xy, dy/dt=y^2-x^2

#EDO#orbites#portrait de phases

Resoudre et tracer les orbites du systeme :

\frac{dx}{dt} = 2xy, \quad \frac{dy}{dt} = y^2 - x^2.

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