مسابقة دكتوراه 2012 — Université Yahia Farès - Médéa — الموضوع 03

Sur $\mathbb{R}^n$, on considere la norme $\|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|$.

1. Verifier qu'il s'agit bien d'une norme.
2. Soit $T(x,y,z) = (5x-2y+2z,\; 2x-y,\; x+y+z)$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$. En munissant $\mathbb{R}^3$ de $\|\cdot\|_1$, calculer la norme de $T$.

Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$. L'epigraphe de $f$ est $\mathrm{epi}(f) = \{(x,\alpha) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \mid f(x) \le \alpha\}$.

1. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si $\mathrm{epi}(f)$ est convexe.
2. Soit $\varphi$ convexe et croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que si $f$ est convexe alors $\varphi \circ f$ est convexe.

Soit $Y$ un espace metrique, $X$ une partie compacte non vide de $Y$, $C_b(Y)$ l'espace des fonctions continues bornees muni de $\|f\| = \sup_{y \in Y}|f(y)|$. Soit $\varphi(x) = \frac{x}{\max(|x|,1)}$ et $f \in C_b(Y)$ avec $f|_X \ne 0$.

1. Montrer que $g = \|f|_X\| \cdot \varphi \circ \frac{f}{\|f|_X\|} \in C_b(Y)$ et que $\|g\| \le \|f|_X\|$.
2. Montrer que $g|_X = f|_X$.
3. Montrer qu'il existe $x_0 \in X$ tel que $|f(x_0)| = \|f|_X\|$.
4. En deduire que $\|g\| = \|f|_X\|$.

Soient $a < b$ deux reels fixes, $L^2(]a,b[)$ l'espace de Hilbert usuel, $H^1(]a,b[) = \{u \in L^2 \mid u' \in L^2\}$, $H_0^2(]a,b[)$ l'adherence de $\mathcal{D}(]a,b[)$ dans $H^2(]a,b[)$. On considere $V = \{u \in H_0^2(]a,b[) \mid u'' \in L^2(]a,b[)\}$ muni de $\|u\|_V^2 = \|u'\|_{L^2}^2 + \|u'''\|_{L^2}^2$.

2. Soit $S$ une distribution sur $]a,b[$ a derivee $S'$ dans $L^2(]a,b[)$. Pour $x \in ]a,b[$, on pose $v(x) = \int_a^x S(t)dt$. a) Calculer la derivee de la distribution $v$ et en deduire que $S \in L^2(]a,b[)$. b) Montrer que si $u \in V$ alors $u'' \in L^2(]a,b[)$.

3. Soient $g \in H_0^1(]a,b[)$ et $\eta \in \mathbb{R}$. Pour $v \in V$, on pose :

$$J(v) = \frac{1}{2}\int_a^b(|v'(x)|^2 + |v'''(x)|^2)dx - \int_a^b g'(x)v'(x)dx - \eta v''(b).$$

a) Justifier l'existence de $v''(b)$. b) Demontrer que $J$ est differentiable sur $V$ et calculer $dJ(u)v$. c) Montrer que si $(\varphi_n) \subset \mathcal{D}(]a,b[)$ converge vers 0 alors $(dJ(u)\varphi_n)$ converge vers 0. d) Expliciter la distribution $T$ definie par $\langle T, \varphi \rangle = dJ(u)\varphi$.

4. Avec $a(u,v) = \int_a^b(u'v' + u'''v''')dx$ et $l(v) = \int_a^b g'v'dx + \eta v''(b)$ : a) Verifier que $a$ est continue et coercive sur $V$ et que $l$ est continue sur $V$. b) Demontrer que le probleme $(\mathcal{P}) : u \in V,\; \forall v \in V,\; a(u,v) = l(v)$ admet une solution unique. c) Montrer que si $u \in V$ est solution de $(\mathcal{P})$ alors $J(u) \le J(w)$, $\forall w \in V$.

5. Demontrer qu'a tout $\varphi \in \mathcal{D}(]a,b[)$ on peut associer un unique element $v \in V$ verifiant $-v'' = \varphi$.