مسابقة دكتوراه 2016 — جامعة وهران 1 أحمد بن بلة — الموضوع 01

Exercice 1. (8 points)

Pour une matrice carrée $A$, on pose $e^A=\sum_{k=0}^{\infty}A^k/k!$. Justifier que $e^A$ est définie et montrer que $\det(e^A)=e^{\operatorname{tr}(A)}$. Pour $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$, calculer $e^{tA}$. Résoudre aussi $x'=2x-y$, $y'=x$, $z'=x+y+z$, avec $x(0)=a,y(0)=b,z(0)=c$.

Exercice 2. (7 points)

Dans $M_n(\mathbb R)$ muni d'une norme multiplicative, montrer que $GL_n(\mathbb R)$ est ouvert. Montrer que l'application $A\mapsto A^{-1}$ est différentiable et déterminer sa différentielle.

Exercice 3. (5 points)

Soit $H$ un espace de Hilbert et $A\in\mathcal L(H)$ normal. Montrer que $A$ est inversible si et seulement s'il existe $C>0$ tel que $\|Ax\|\ge C\|x\|$ pour tout $x\in H$.