مسابقة دكتوراه 2020 — جامعة سعد دحلب البليدة 1

Soit $E = C([0,1], \mathbb{R})$ muni de la norme $\| \cdot \|_\infty$ et $T : E \to E$ l'opérateur défini par :

$T f(x) = \int_0^x f(t) \, dt, \quad x \in [0,1].$

1. Montrer que $T \in \mathcal{L}(E)$.
2. Montrer que $T \in \mathcal{K}(E)$ (c-à-d $T$ compact).
3. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, on a .

Soient $E$ un espace de Hilbert et $A : E \to E$ un opérateur autoadjoint continu. On désigne par $A \pm i$ les opérateurs

$x \mapsto Ax \pm ix \quad (x \in E).$

1. Calculer $\|Ax \pm ix\|^2$ ; en déduire que les opérateurs $A \pm i$ sont injectifs.
2. On pose $R(A \pm i) = \{ Ax \pm ix, \; x \in E \}$. Montrer que si est orthogonal à alors . En déduire que les sous-espaces vectoriels sont denses dans .