مسابقة دكتوراه 2020 — جامعة سعد دحلب البليدة 1

Un pharmacien fabrique 3 sortes de médicaments en utilisant deux composants de base : calcium et fer. Pour cela, il a besoin d'au moins 360 gr de calcium et 240 gr de fer. On sait de plus que :

• 1 gr du 1er médicament coûte 6 DA et nécessite 5 gr de calcium et 4 gr de fer.
• 1 gr du 2ème médicament coûte 7 DA et nécessite 3 gr de calcium et 1 gr de fer.
• 1 gr du 3ème médicament coûte 5 DA et nécessite 2 gr de calcium et 3 gr de fer.

Le pharmacien veut établir un plan de production de moindre coût des trois médicaments. Modéliser ce problème sous forme d'un programme linéaire $(P_1)$.

Un fournisseur propose de fournir le pharmacien en calcium et fer pour la fabrication des trois médicaments. Le fournisseur tient à gagner le maximum d'argent, mais le pharmacien ne voudra pas acheter les deux produits à n'importe quel prix.

1. Traduire ce problème en un programme linéaire $(P_2)$.
2. Que représente $(P_2)$ par rapport à $(P_1)$ ?
3. Résoudre graphiquement $(P_2)$.
4. En déduire une solution optimale pour $(P_1)$.

Considérons le problème de programmation linéaire sous sa forme standard :

$(P) \quad \begin{cases} \min Z = cx \\ Ax = b \\ x \geq 0. \end{cases}$

1. Écrire le dual $(D)$ de $(P)$.
2. Montrer que si $(P)$ admet un ensemble de solutions réalisables pour lesquelles la fonction objectif n'est pas bornée, alors $(D)$ n'a pas de solution réalisable.
3. Montrer que si $X^1$ et sont deux solutions optimales distinctes de , alors tout vecteur , avec , est aussi solution optimale de .

1. On veut construire un lieu de stock qui sert à fournir $m$ magasins tels que la distance maximum du stock aux magasins sera la plus petite possible. Modéliser mathématiquement ce problème.

2. Soient $x_1, x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{R}_+^*$. On définit les moyennes suivantes :

$M_a = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \qquad \text{et} \qquad M_q = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}.$

Montrer que $M_a \leq M_q$.

Soit le problème d'optimisation suivant :

$(P) \equiv \begin{cases} \min f(x_1, x_2) = (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 4)^2 \\ g_1(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0 \\ g_2(x_1, x_2) = x_1^2 + (x_2 - 2)^2 - 9 \leq 0 \end{cases}$

1. En faisant une interprétation géométrique, déterminer la solution optimale de ce problème.
2. Résoudre le problème en utilisant les conditions de Kuhn et Tucker (KKT).