مسابقة دكتوراه 2012 — جامعة يحيى فارس - المدية — الموضوع 01

Exercice 1. (6 points)

Sur $\mathbb R^n$, on considère $\|x\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|$. Vérifier qu'il s'agit d'une norme. Pour $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $T(x,y,z)=(5x-2y+2z,2x-y,x+y+z)$, munir $\mathbb R^3$ de la norme $\|\cdot\|_1$ et calculer la norme de $T$.

Exercice 2. (8 points)

Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R\cup\{+\infty\}$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe. Si $\operatorname{dom}f=\mathbb R^n$ et $f$ est convexe, croissante et tend vers $+\infty$, montrer que $\operatorname{epi}f$ est convexe sur $\mathbb R^n$.

Exercice 3. (6 points)

Soit $Y$ métrique, $X\subset Y$ compact non vide, et $C_b(Y)$ l'espace des fonctions réelles continues bornées. Posons $\varphi(x)=\frac{x}{\max(|x|,1)}$ et soit $f\in C_b(Y)$, $f|_X\ne0$. Montrer que l'application $g=\|f|_X\|\,\varphi\!\left(\frac f{\|f|_X\|}\right)$ appartient à $C_b(Y)$, que $g|_X=f|_X$, qu'il existe $x_0\in X$ tel que $|f(x_0)|=\|f|_X\|$, et en déduire $\|g\|=\|f|_X\|$.