مسابقة دكتوراه 2013 — Université Yahia Farès - Médéa — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

Concours d'accès au Doctorat LMD « Analyse et Modélisation Mathématiques » — Épreuve : Analyse Fonctionnelle et Variationnelle, Sujet 1, Université Yahia Farès de Médéa, Faculté des Sciences et de la Technologie — 2012/2013 (Durée 2h).

التمرين 1

Exercice 1 — Norme sur Rⁿ et norme d'opérateur

#norm#operator-norm#linear-map#finite-dimension

Sur l'espace $\mathbb{R}^n$ , on considère la norme suivante

\|x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k| \quad \text{où} \quad x = (x_1, \ldots, x_n).

(3 pts) Vérifier qu'il s'agit bien d'une norme.
(3 pts) On considère l'application linéaire $T$ de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ dans lui-même définie par

T(x, y, z) = (5x - 2y + 2z, \, 2x - y, \, x + y + z).

En munissant $\mathbb{R}^3$ de la norme $\|.\|_1$ , quelle est alors la norme de $T$ ?

◀الحل

1.

Séparation : $\|x\|_1 = 0 \Rightarrow |x_k| = 0$ pour tout $k$ donc $x = 0$ . Homogénéité : $\|\lambda x\|_1 = |\lambda| \|x\|_1$ . Inégalité triangulaire : $\|x + y\|_1 = \sum |x_k + y_k| \leq \sum (|x_k| + |y_k|) = \|x\|_1 + \|y\|_1$ .

\boxed{\|.\|_1 \text{ est bien une norme.}}

2.

Pour la norme $\|.\|_1$ , la norme d'opérateur est $\|T\|_1 = \max_j \sum_i |a_{ij}|$ (maximum des sommes en colonnes absolues). La matrice de $T$ est

A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Colonne 1 : $|5| + |2| + |1| = 8$ . Colonne 2 : $|-2| + |-1| + |1| = 4$ . Colonne 3 : $|2| + |0| + |1| = 3$ .

\boxed{\|T\|_1 = 8.}

التمرين 2

Exercice 2 — Convexité de l'épigraphe et composition de fonctions convexes

#convexity#epigraph#composition#functional-analysis

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ . Rappelons que l'épigraphe de $f$ est

\text{epi}(f) = \{(x, \alpha) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \mid f(x) \leq \alpha\}.

(3 pts) Montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ si et seulement si $\text{epi}(f)$ est convexe.
(3+2 pts) Soit $\varphi$ une fonction convexe et croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . En posant $\varphi(+\infty) = +\infty$ , montrer que si $f$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ , alors $\varphi \circ f$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ .

◀الحل

1.

( $\Rightarrow$ ) Si $f$ convexe, soient $(x, \alpha), (y, \beta) \in \text{epi}(f)$ et $t \in [0,1]$ . Alors $f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) \leq t\alpha + (1-t)\beta$ , donc $(tx + (1-t)y, t\alpha + (1-t)\beta) \in \text{epi}(f)$ .

( $\Leftarrow$ ) Si $\text{epi}(f)$ convexe, $(x, f(x))$ et $(y, f(y)) \in \text{epi}(f)$ , donc $(tx + (1-t)y, tf(x) + (1-t)f(y)) \in \text{epi}(f)$ , ce qui donne $f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$ .

\boxed{f \text{ convexe} \iff \text{epi}(f) \text{ convexe.}}

2.

Pour $t \in [0,1]$ : $\varphi(f(tx + (1-t)y)) \leq \varphi(tf(x) + (1-t)f(y))$ (car $\varphi$ croissante et $f$ convexe) $\leq t\varphi(f(x)) + (1-t)\varphi(f(y))$ (car $\varphi$ convexe).

\boxed{\varphi \circ f \text{ est convexe.}}

التمرين 3

Exercice 3 — Extension de fonctions bornées sur un compact

#banach-space#compact-set#bounded-functions#extension#sup-norm

Soit $Y$ un espace métrique et soit $X$ une partie compacte non vide de $Y$ . On désigne par $C_b(Y)$ l'espace vectoriel des fonctions réelles continues et bornées muni de la norme définie par

\|f\| = \sup_{y \in Y} |f(y)|.

On désigne aussi par $\|.\|$ la norme de la convergence uniforme sur l'espace $C(X)$ des fonctions réelles continues sur $X$ . Les espaces $C(X)$ et $C_b(Y)$ sont des espaces de Banach.

Soit $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par

\varphi(x) = \frac{x}{\max(|x|, 1)}

et soit $f \in C_b(Y)$ tel que $f|_X \neq 0$ .

(2 pts) Montrer que l'application $g = \|f|_X\| \cdot \varphi \circ \frac{f}{\|f|_X\|} \in C_b(Y)$ et que $\|g\| \leq \|f|_X\|$ .
(1 pt) Montrer que $g|_X = f|_X$ .
(1 pt) Montrer qu'il existe $x_0 \in X$ tel que $|f(x_0)| = \|f|_X\|$ .
(2 pts) En déduire que $\|g\| = \|f|_X\|$ .

◀الحل

1.

$g$ est continue comme composée de fonctions continues. Pour la borne : $|\varphi(t)| \leq 1$ pour tout $t$ , donc $|g(y)| = \|f|_X\| \cdot |\varphi(f(y)/\|f|_X\|)| \leq \|f|_X\|$ .

\boxed{g \in C_b(Y), \quad \|g\| \leq \|f|_X\|.}

2.

Pour $x \in X$ : $|f(x)| \leq \|f|_X\|$ , donc $|f(x)/\|f|_X\|| \leq 1$ , donc $\varphi(f(x)/\|f|_X\|) = f(x)/\|f|_X\|$ . Ainsi $g(x) = \|f|_X\| \cdot f(x)/\|f|_X\| = f(x)$ .

\boxed{g|_X = f|_X.}

3.

La fonction $|f|$ est continue sur le compact $X$ , donc elle atteint son maximum. Il existe $x_0 \in X$ tel que $|f(x_0)| = \sup_{x \in X} |f(x)| = \|f|_X\|$ .

\boxed{\exists x_0 \in X : |f(x_0)| = \|f|_X\|.}

4.

On a $\|g\| \leq \|f|_X\|$ (question 1). Par ailleurs $|g(x_0)| = |f(x_0)| = \|f|_X\|$ (questions 2 et 3), donc $\|g\| \geq \|f|_X\|$ .

\boxed{\|g\| = \|f|_X\|.}

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