مسابقة دكتوراه 2013 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 1سا

Épreuve Écrite du Concours d'Accès en 3ème Cycle LMD — Option : Modélisation, simulations et calculs scientifiques appliqués — Épreuve 1 : Méthodes numériques et Équations différentielles, Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem, Faculté des Sciences et de la Technologie — Mardi 22 Octobre 2013 (Durée 1 Heure 30 Minutes).

التمرين 1

Exercice 1 — Résolution numérique d'un problème de Cauchy par schéma d'Euler

#euler-method#ode#numerical-approximation#error-analysis

On considère le problème de valeurs aux limites suivant (de solution $y(t) = 3e^{-2t}\cos(t) + e^{-2t}\sin(t)$ ) :

(1) \begin{cases} y''(x) + 4y'(x) + 5y(x) = 0 \quad \text{sur } [0, 1] \\\\ y(0) = 3 \\\\ y'(0) = -5 \end{cases}

Écriture du problème sous forme matricielle : réécrire l'équation différentielle sous la forme $Y'(x) = P \times Y(x)$ , $Y(0) = Y_0$ .
Utilisant le schéma $Y_{n+1} = Y_n + h f(x_n, Y_n)$ , donner une approximation de la solution de (1), pour un pas $h = 0.2$ .
Calculer l'erreur commise par ce schéma.

◀الحل

1.

On pose $Y = \begin{pmatrix} y \\\\ y' \end{pmatrix}$ , $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -5 & -4 \end{pmatrix}$ , $Y_0 = \begin{pmatrix} 3 \\\\ -5 \end{pmatrix}$ .

2.

$Y_1 = Y_0 + 0.2 \cdot PY_0 = \begin{pmatrix} 3 \\\\ -5 \end{pmatrix} + 0.2 \begin{pmatrix} -5 \\\\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\\\ -4 \end{pmatrix}$ . On continue pour $Y_2, \ldots, Y_5$ .

3.

L'erreur du schéma d'Euler explicite est $O(h) = O(0.2)$ . On compare les valeurs approchées avec la solution exacte $y(t) = 3e^{-2t}\cos t + e^{-2t}\sin t$ .

\boxed{\text{Erreur globale } = O(h) = O(0.2)}

التمرين 2

Exercice 2 — Conditionnement d'un système linéaire

#conditioning#linear-system#perturbation

Soit $\varepsilon \gt 0$ et

A_\varepsilon = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 + \varepsilon \end{pmatrix}

et soit à résoudre le système linéaire $A_\varepsilon \begin{pmatrix} x \\\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \end{pmatrix}$ .

Si l'on change légèrement le second membre et on résout $A_\varepsilon \begin{pmatrix} x \\\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 + \varepsilon \end{pmatrix}$ .

Commentaire.

◀الحل

Premier système : $x + y = 1$ , $x + (1+\varepsilon)y = 1$ , d'où $y = 0$ et $x = 1$ . Deuxième système : $y = 1$ et $x = 0$ . Une petite perturbation $\varepsilon$ du second membre change complètement la solution. Le système est mal conditionné : $\text{cond}(A_\varepsilon) \sim 1/\varepsilon$ qui explose quand $\varepsilon \to 0$ .

\boxed{\text{Système mal conditionné, cond}(A_\varepsilon) \approx \frac{1}{\varepsilon}}

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