مسابقة دكتوراه 2013 — Université Hadj Lakhdar - Batna 1 — الموضوع 03

Soit $c>0$. On considère le problème de Cauchy

$$\begin{cases} \partial_t^2u(t,x)-c^2\Delta_xu(t,x)=0, & (t,x)\in]0,+\infty[\times\mathbb{R}^d,\\ u(0,x)=f(x),\quad \partial_tu(0,x)=g(x), & x\in\mathbb{R}^d, \end{cases}$$

avec $f,g\in L(\mathbb{R}^d,\mathbb{C})$.

1. En utilisant la transformée de Fourier partielle en $x$, prouver que le problème admet une unique solution donnée par

$$\widehat u(t,\xi)=\widehat f(\xi)\cos(c\lvert\xi\rvert t)+\widehat g(\xi)\frac{\sin(c\lvert\xi\rvert t)}{c\lvert\xi\rvert},$$

pour $t\geq0$ et $\xi\neq0$.

2. Déduire que

$$u\in C^\infty\left([0,+\infty[;L(\mathbb{R}^d)\right).$$

3. Prouver que, pour tout $\xi\in\mathbb{R}^d$,

$$(\operatorname{Re}\partial_t\widehat u)^2+c^2\lvert\xi\rvert^2(\operatorname{Re}\widehat u)^2=(\operatorname{Re}\widehat g)^2+c^2\lvert\xi\rvert^2(\operatorname{Re}\widehat f)^2,$$

et l’identité analogue pour les parties imaginaires.

4. Soit $s\in\mathbb{R}$. Prouver que, pour tout $t\geq0$,

$$\lVert\partial_tu(t)\rVert_{H^{s-1}}^2+c^2\lVert\nabla_xu(t)\rVert_{H^{s-1}}^2\leq\lVert g\rVert_{H^{s-1}}^2+c^2\lVert f\rVert_{H^s}^2.$$

1. Soit $u\in L^\infty(\mathbb{R})$ continue en $0$. Prouver que

$$\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}u(x)\frac{n}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(nx)^2}{2}}\,dx=u(0).$$

Indication : supposer $u(0)=0$ et découper l’intégrale entre un voisinage de $0$ et son complément.

2. Pour $\xi\in\mathbb{R}$, on note $\langle\xi\rangle=(1+\lvert\xi\rvert^2)^{1/2}$. Soit $f\in L^2(\mathbb{R})$, $f\geq0$, telle que $\langle\xi\rangle^{-1}f\notin L^1(\mathbb{R})$. On pose

$$u=\mathcal{F}^{-1}(\langle\xi\rangle^{-1}f).$$

1. Prouver que $u\in H^{1/2}(\mathbb{R})$.
2. Définissons

$$I_n=\int_{\mathbb{R}}u(x)ne^{-\frac{(nx)^2}{2}}\,dx.$$

  1. Prouver que

$$I_n=\int_{\mathbb{R}}\widehat u(\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2n^2}}\,d\xi.$$

  2. En utilisant le lemme de Fatou, prouver que $I_n\to+\infty$.

3. En déduire que

$$H^{1/2}(\mathbb{R})\not\subset L^\infty(\mathbb{R}).$$