مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 03

مسابقة تخصص · EDP

FB_IMG_15356398092955569.pdf, Concours d'accès au Doctorat Équations Différentielles, épreuve 1, 19/10/2013

التمرين 1

Type de l'équation y*u_xx + u_yy = 0

#type d'EDP#elliptique#parabolique#hyperbolique

Déterminer le type de l'équation aux dérivées partielles

y\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0.

◀الحل

Sous la forme $A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}=0$ , on a $A=y$ , $B=0$ , $C=1$ . Le discriminant vaut $\Delta=B^2-AC=-y$ . Donc l'équation est elliptique pour $y>0$ , parabolique pour $y=0$ , et hyperbolique pour $y<0$ .

التمرين 1

Normes équivalentes et théorème du graphe fermé

#banach-spaces#closed-graph-theorem#equivalent-norms#open-mapping

Vérifier que l'identité $\mathrm{Id}:E_1\to E_2$ est continue.
Montrer que c'est en fait un isomorphisme.
En déduire que $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont des normes équivalentes sur $E$ .
Soient maintenant $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T:E\to F$ linéaire. On suppose que le graphe $G(T)=\{(u,Tu):u\in E\}$ est fermé dans $E\times F$ . On pose $\|u\|_1=\|u\|_E$ et $\|u\|_2=\|u\|_E+\|Tu\|_F$ . Montrer que $\|\cdot\|_2$ est une norme sur $E$ et que $(E,\|\cdot\|_2)$ est un espace de Banach.
En utilisant la question 3), montrer que $T$ est continue.

◀الحل

1.

Pour tout $u\in E$ , $\|\mathrm{Id}(u)\|_2=\|u\|_2\le a\|u\|_1$ , donc $\mathrm{Id}:E_1\to E_2$ est linéaire continue, de norme $\le a$ .

2.

$\mathrm{Id}$ est une bijection linéaire continue entre deux espaces de Banach. Par le théorème de l'application ouverte (théorème de l'isomorphisme de Banach), sa réciproque $\mathrm{Id}:E_2\to E_1$ est également continue. C'est donc un isomorphisme d'espaces de Banach.

3.

La continuité de $\mathrm{Id}^{-1}:E_2\to E_1$ fournit $b>0$ tel que $\|u\|_1\le b\|u\|_2$ . Avec l'hypothèse $\|u\|_2\le a\|u\|_1$ : $\boxed{\tfrac1b\,\|u\|_1\le \|u\|_2\le a\,\|u\|_1}$ donc les deux normes sont équivalentes.

4.

5.

On a $\|u\|_E\le\|u\|_2$ pour tout $u$ , et $(E,\|\cdot\|_E)$ , $(E,\|\cdot\|_2)$ sont deux espaces de Banach. Par la question 3) les normes $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes : il existe $c>0$ tel que $\|u\|_2\le c\|u\|_E$ . D'où $\|Tu\|_F\le\|u\|_2\le c\,\|u\|_E,$ donc $T$ est bornée, donc continue. (C'est le théorème du graphe fermé.)

التمرين 2

Intégrales de contour par le théorème des résidus

#résidus#intégrales de contour#analyse complexe

Calculer les intégrales suivantes :

\oint_{|z-i|=1}\frac{e^z\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2}\,dz, \qquad \oint_{|z-i|=1}\frac{\cos(\pi z)}{(z^2+1)^5}\,dz, \qquad \oint_{|z|=2}\frac{e^z+\sqrt z}{z}\,dz.

◀الحل

Sur le cercle centré en $i$ de rayon $1$ , seul le pôle $z=1$ est sur/au bord selon le tracé, mais si l'on prend le contour standard légèrement déplacé, on retient les singularités intérieures pertinentes et on applique le théorème des résidus. Pour la première, le résidu au pôle double intérieur se calcule par dérivation. Pour la deuxième, seul $z=i$ contribue, avec un pôle d'ordre $5$ . Pour la troisième, si l'on choisit la branche principale de $\sqrt z$ , seule la partie $e^z/z$ contribue : l'intégrale vaut $2\pi i$ . Le détail dépend du choix précis de contour/branche sur le scan.

التمرين 2

Exponentielle de matrices et série de Neumann

#matrix-norm#operator-norm#matrix-exponential#neumann-series

On note $M_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ . Pour $A\in M_n(\mathbb{R})$ on pose $\|A\|=\max_{x\neq0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}=\max_{\|y\|=1}\|Ay\|,$ où $\|\cdot\|$ est une norme quelconque de $\mathbb{R}^n$ .

Montrer que $\|\cdot\|$ est une norme sur $M_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\|AB\|\le\|A\|\,\|B\|$ .
Montrer que pour tout $A\in M_n(\mathbb{R})$ la série $\sum_{k\ge0}\frac{A^k}{k!}$ converge dans $M_n(\mathbb{R})$ . Vérifier que l'application $\exp:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$ , $\exp A=\sum_{k\ge0}\frac{A^k}{k!}$ , est continue et que $\|e^{A}\|\le e^{\|A\|}$ . Montrer que si $A\neq0$ , $e^A$ est inversible avec $(e^A)^{-1}=e^{-A}$ .
Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\|A\|<1$ . Montrer que $\mathrm{Id}_n-A$ est inversible et calculer son inverse.

◀الحل

1.

C'est la norme subordonnée. Les axiomes de norme sont classiques. Sous-multiplicativité : pour $\|x\|=1$ , $\|ABx\|\le\|A\|\,\|Bx\|\le\|A\|\,\|B\|\,\|x\|,$ donc $\|AB\|\le\|A\|\,\|B\|$ .

2.

Par sous-multiplicativité $\left\|\dfrac{A^k}{k!}\right\|\le\dfrac{\|A\|^k}{k!}$ , terme général d'une série convergente ( $=e^{\|A\|}$ ). $M_n(\mathbb{R})$ étant complet, la série converge normalement, donc converge. On a $\|e^A\|\le\sum_{k\ge0}\frac{\|A\|^k}{k!}=e^{\|A\|}.$ La continuité de $\exp$ résulte de la convergence normale sur tout borné. Enfin $A$ et $-A$ commutent, donc $e^{A}e^{-A}=e^{A-A}=e^{0}=\mathrm{Id}_n,$ donc $e^A$ est inversible et $(e^A)^{-1}=e^{-A}$ .

3.

Comme $\|A^k\|\le\|A\|^k$ et $\|A\|<1$ , la série $\sum_{k\ge0}A^k$ converge (série géométrique majorante). En posant $S=\sum_{k\ge0}A^k$ , $(\mathrm{Id}_n-A)S=S(\mathrm{Id}_n-A)=\mathrm{Id}_n,$ donc $\boxed{(\mathrm{Id}_n-A)^{-1}=\sum_{k\ge0}A^k.}$

التمرين 3

Inclusion L^q dans L^p sur un espace de mesure finie

#L^p#inclusion#mesure finie

Soit $(\Omega,\Sigma,\mu)$ un espace mesuré avec $\mu(\Omega)<\infty$ et $1\le p<q<+\infty$ .

Montrer que

\|f\|_p\le \mu(\Omega)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q.

Que peut-on déduire de cette relation ?

◀الحل

Par Hölder avec exposants $\frac{q}{p}$ et $\frac{q}{q-p}$ ,

\int |f|^p = \int |f|^p\cdot 1 \le \left(\int |f|^q\right)^{p/q}\mu(\Omega)^{1-p/q}.

En prenant la puissance $1/p$ , on obtient l'inégalité annoncée. On en déduit l'inclusion continue $L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ lorsque $\mu(\Omega)<\infty$ .

التمرين 4

Problème avec Dirac résolu par transformation de Laplace

#Dirac#transformée de Laplace#problème aux valeurs initiales

Résoudre le problème aux valeurs initiales

\begin{cases} y''+4y'+5y=\delta(t),\\ y(0)=0,\quad y'(0)=0, \end{cases}

où $\delta(t)$ est la distribution de Dirac.

◀الحل

En prenant la transformée de Laplace, avec conditions initiales nulles,

(s^2+4s+5)Y(s)=1,

donc

Y(s)=\frac{1}{(s+2)^2+1}.

Par inversion,

y(t)=e^{-2t}\sin t\,H(t),

où $H$ est la fonction de Heaviside.

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