مسابقة دكتوراه 2017 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 03

On considère un $n$-échantillon d'une v.a. $X$ de densité

$$f_X(x) = \frac{\alpha}{\theta}x^{\alpha - 1}\exp\left(-\frac{x^\alpha}{\theta}\right)\mathbf{1}_{\{x > 0\}}$$

où $\alpha$ et $\theta$ sont des paramètres réels strictement positifs.

1) a) On suppose $\alpha$ connu, la loi de $X$ appartient-elle à la famille des lois exponentielles ? Déterminer une statistique exhaustive pour $\theta$ si elle existe.

b) Même question si on suppose $\theta$ connu. Dans toute la suite on suppose $\alpha = 3$.

2) Montrer que $X^3 \sim \mathcal{E}\left(\frac{1}{\theta}\right)$ (loi exponentielle).

Déduire que $\frac{2}{\theta}X^3 \sim \mathcal{E}\left(\frac{1}{2}\right) = \chi_2^2$ (Khi-deux à deux degrés de liberté), puis la loi de $\frac{2}{\theta}\sum_{i=1}^{n} X_i^3$.

3) a) Déterminer les EMV $T_1$ et $T_2$ de $\theta$ et de $\frac{1}{\theta}$. Donner leurs lois asymptotiques.

b) Déterminer l'ESBVUM de $\theta$.

c) Est-il efficace ?

4) a) En utilisant 2) déterminer un intervalle de confiance de niveau $1 - \alpha$ pour $\theta$.

b) Déterminer un intervalle de confiance de niveau asymptotique $1 - \alpha$ pour $\theta$.

5) Montrer que pour tout $\alpha$ ($0 < \alpha < 1$) et pour tout $\theta_0$, il existe un test uniformément le plus puissant au niveau $\alpha$ de "$\theta \le \theta_0$" contre "$\theta > \theta_0$". Déterminer sa région critique.

I- Soit $\{X(t) : t \ge 0\}$ un processus stochastique à espace d'états discret.

1) Donner une définition formelle, pour qu'il soit un processus de naissance et de mort, avec des taux de natalité $\lambda_i$ et des taux de mortalité $\mu_i$ pour $i = 0, 1, \ldots$.

2) Expliquez la différence entre la matrice de transition instantanée, $P$, et la matrice de transition $P(t)$.

3) Envisager un processus de naissance et de mort avec des taux de naissance et de mortalité linéaires. Autrement dit, nous avons un processus de naissance et de mort $\{X(t) : t \ge 0\}$ avec $\lambda_n = n\lambda$ et $\mu_n = n\mu$ pour $n = 0, 1, \ldots$ et $X(0) = 1$. Écrivez explicitement les équations progressives de Kolmogorov pour ce processus.

4) Donner la forme générale de la distribution stationnaire.

II- On considère un processus $\{X(t) : t \ge 0\}$ de naissance et de mort avec immigration. Le taux de mortalité par particule est $\mu_i = \mu$, et le taux de natalité est $\lambda_i = \lambda$. Un processus de Poisson d'intensité $\nu_i = \nu$ alimente le processus avec des nouvelles particules. Chaque nouvel immigrant commence un clan évoluant de façon indépendante des particules existantes.

S'il y a, initialement, $i$ particules, alors les équations progressives peuvent être résumées comme suit

$$\frac{d}{dt}p_{i0}(t) = -\nu p_{i0}(t) + \mu p_{i1}(t);$$ $$\frac{d}{dt}p_{ij}(t) = -(\nu + j\lambda + j\mu)p_{ij}(t) + (\nu + (j-1)\lambda)p_{i,j-1}(t) + (j+1)\mu p_{i,j+1}(t).$$

1) Si $G(s,t)$ est la fonction génératrice des probabilités $p_{ij}(t)$, démontrer que

$$\frac{\partial}{\partial t}G(s,t) = (\lambda s - \mu)(s - 1)\frac{\partial}{\partial s}G(s,t) + \nu(s - 1)G(s,t),$$

avec $G(s, 0) = s^i$.

2) Utiliser ce résultat pour démontrer que le nombre moyen de particules à l'instant $t$

$$m_i(t) = ie^{(\lambda - \mu)t} + \frac{\nu}{\lambda - \mu}\left(e^{(\lambda - \mu)t} - 1\right),$$

avec $\lambda < \mu$ et $m_i(0) = i$.

3) Déduire la limite $\lim_{t \to \infty} m_i(t)$.

Une variable aléatoire $Y$ est en relation avec la variable non-aléatoire $x$, à travers le modèle

$$Y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma x_i^2 + e_i \quad (1)$$

pour $i = 1, \ldots, n$ et où $\alpha, \beta, \gamma$ sont des paramètres et $e \sim N(0, \sigma^2)$.

On veut trouver les estimateurs des moindres carrés de $\alpha, \beta, \gamma$. Dans ce but, 4 observations indépendantes sur $Y$ sont faites avec $x$ respectivement égal à $-1, 1, -c$ et $c$ où $c > 0$ est une constante.

1) Montrer que si $c \neq 1$, l'estimation peut toujours se faire, en discuter la structure de la covariance des estimateurs ainsi obtenus.

2) Avec $c = 2$, les valeurs de $Y$ sont respectivement $0, 2, 0$ et $6$.

a- Trouver les valeurs des estimateurs $\widehat{\alpha}, \widehat{\beta}, \widehat{\gamma}$, leurs variances et covariances en fonction de $\sigma^2$.

b- Tester l'hypothèse que la vraie valeur de $\gamma$ soit égale à $0$.