مسابقة دكتوراه 2018 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

Considérons une file d'attente $M/M/1$ de paramètres $\lambda$ et $\mu$ où les clients arrivent par groupes de 2.

Soit le processus $(X_t)_{t \ge 0}$ défini, pour tout $t \ge 0$, par

$X_t =$ le nombre de clients dans le système à l'instant $t$.

1- Montrer que $(X_t)_{t \ge 0}$ est une chaîne de Markov à temps continu. Déterminer son générateur infinitésimal.

2- $(X_t)_{t \ge 0}$ est-il un processus de naissance et de mort ? Justifiez votre réponse.

3- Soit $P_n(t) = P(X_t = n)$, $n \ge 0$ et $t \ge 0$. Écrire les équations de Chapman-Kolmogorov.

4- Si $P_n = \lim_{t \to +\infty} P_n(t)$. Écrire les équations d'équilibre en régime stationnaire.

5- Déterminer la fonction génératrice $G(z) = \sum_{n \ge 0} z^n P_n$ associée à la distribution stationnaire $P_n$ et donner la condition de stabilité.

6- En déduire la moyenne et la variance du nombre de clients dans le système en régime stationnaire.

Soit $X$ une v.a. de densité de probabilité

$$f_\theta(x) = \theta (1 + x)^{-(\theta + 1)}\, \mathbf{1}_{x \ge 0}$$

avec $\theta$ un paramètre positif.

1- Déterminer la loi de la v.a. $Y = \operatorname{Log}(1 + X)$.

Soit $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ un $n$-échantillon de $X$.

2- Déterminer une statistique $S_n$ exhaustive et complète pour $\theta$. Donner sa loi de probabilité.

3- Trouver l'estimateur $\hat{\theta}$ de $\theta$ obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance.

4- $\hat{\theta}$ est-il sans biais ? est-il convergent ?

5- Déterminer l'estimateur sans biais de variance minimum pour $\theta$. Cet estimateur est-il efficace pour $\theta$ ?

6- On veut estimer $g(\theta) = \dfrac{1}{\theta}$.

Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $g(\theta)$. Montrer qu'il est efficace pour $g(\theta)$.