مسابقة دكتوراه 2019 — USTO — الموضوع 03

Soit $f$ la fonction $2\pi$ périodique définie par

$$f(x) = \begin{cases} 0 \text{ si } -\pi \leq x \leq 0 \\ 1 \text{ si } 0 < x < \pi \end{cases}$$

1. Dessiner $f$ sur trois périodes.

2. Écrire la série de Fourier associée à $f$.

3. En déduire la somme de la série suivante :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n - 1}$$

Soit $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$ et la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. Donner les valeurs de $a$ et $b$ pour lesquelles la décomposition de Dunford de $A$ est

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

2. On suppose dans la suite que $a \neq 0$ et $b = 1$.

(a) Déterminer les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques de $A$.

(b) Trouver $D$ diagonale et $N$ nilpotente telle que $D$ commute avec $N$ et $A = D + N$.

3. Soit le système différentiel suivant :

$$(S) \quad \begin{cases} x'(t) = x(t) + 2y(t) \\ y'(t) = y(t) + z(t) \\ z'(t) = 2z(t) \end{cases}$$

Trouver les solutions de $(S)$.