مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 02

Soit $N : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par

$$N(x,y) = \sup_{t \in \mathbb{R}} \frac{|x + ty|}{1 + t + t^2}.$$

a) Vérifier que $N$ est bien définie.

b) $N$ est-elle une norme ?

Soit la suite réelle de terme général

$$u_n = 2\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + (-1)^n \sqrt{\frac{n}{n+1}}$$

et $U = \{u_n \in \mathbb{R},\ n \in \mathbb{N}\}$ l'ensemble des valeurs de la suite $(u_n)$.

1. Déterminer les valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)$.

2. Déterminer l'adhérence de l'ensemble $U$.

Soit $E = ]0, +\infty[$. Pour $x$ et $y$ dans $E$, on pose

$$\delta(x,y) = |\log x - \log y|.$$

a) Vérifier que $\delta$ est une distance sur $E$.

b) Soit $d$ la distance usuelle sur $E$. Montrer que $d$ et $\delta$ sont deux distances topologiquement équivalentes, c'est-à-dire $U$ est un ouvert de $(E,d)$ si et seulement si $U$ est un ouvert de $(E,\delta)$.

c) Montrer que $(E,d)$ n'est pas complet.

d) La suite $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \ge 1}$ est-elle convergente dans l'espace métrique $(E,\delta)$ ? Est-elle une suite de Cauchy dans $(E,\delta)$ ?

e) Montrer que l'espace métrique $(E,\delta)$ est complet.

Soit $(E, \langle \cdot / \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $\|u + \lambda v\|^2$ pour tout $u, v \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.

2. Montrer que si $\|u + \lambda v\| \ge \|u\|$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ alors $u$ et $v$ sont orthogonaux.