مسابقة دكتوراه 2017 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

Deux horloges $A$ et $B$ sont mises en marche au même instant (qu'on choisit comme l'instant $0$). L'horloge $A$ (resp. $B$) sonne après un temps aléatoire $T_A$ (resp. $T_B$). On suppose que $T_A$ et $T_B$ sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de densité respective $f$ et $g$. On introduit les fonctions de répartitions

$$F(x) = P(T_A \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt \ \text{ et } \ G(y) = P(T_B \le y) = \int_{-\infty}^{y} g(t)\,dt.$$

On pose $p = P(T_B \le T_A) \in\ ]0,1[$.

1. Quelle est la loi de $\mathbf{1}_{\{T_B \le T_A\}}$ ? Donner $\mathrm{Var}(\mathbf{1}_{\{T_B \le T_A\}})$ en fonction de $p$.

2. Déterminer $p$ comme une intégrale en fonction de $G$ et $f$ (ou en fonction de $F$ et $g$). Vérifier que, si $T_A$ et $T_B$ ont même loi, i.e. $f = g$, alors $p = 1/2$.

3. On pose $S = \mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{T_B \le T_A\}} | T_A\right]$ et $T = \mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{T_B \le T_A\}} | T_B\right]$. Déterminer $S$ et $T$. Donner $\mathbb{E}[S]$ et $\mathbb{E}[T]$.

À travers la présente application, une méthode d'estimation du nombre $\pi$ est proposée. On se propose d'utiliser la variable $V = \sqrt{1 - U^2}$, où $U$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$.

1. Montrer que $\mathbb{E}[V] = \frac{\pi}{4}$.

2. En déduire, une méthode d'estimation de $\pi$ à partir d'un échantillon $U_1, U_2, \ldots, U_n$ de $U$, l'estimateur ainsi défini étant noté $T$.

3. Montrer que $T$ est sans biais et convergent.

4. À partir d'un intervalle de confiance asymptotique de $\pi$ obtenu par la présente méthode (au seuil de confiance 95%), déterminer le nombre minimal de variables uniformes à générer pour obtenir une précision absolue d'au moins 3%.

1. Étant donné une suite $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de variables aléatoires indépendantes de même loi, à valeurs dans un ensemble $E_1$ fini ou dénombrable, et la variable aléatoire $X_0$ indépendante des $Y_n$ à valeurs dans un ensemble $E_2$ fini ou dénombrable. Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ le processus défini par :

$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad X_{n+1} = f(X_n, Y_{n+1}) = \max(X_n, Y_{n+1}),$$

où $f$ est une fonction à valeurs dans $E_2$. Montrer que $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov.

2. Soit $X_n$ la v.a. égale à la valeur maximale obtenue après $n$ jets d'un dé. Montrer que $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov. Déterminer sa matrice de transition et étudier la chaîne.