مسابقة دكتوراه 2016 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 01

Exercice 1. (5 points)

Soit $H$ un espace de Hilbert et $K:H\to H$ une application linéaire vérifiant

$$\forall x,y\in H:\quad \langle Kx,y\rangle=\langle x,Ky\rangle.$$

1. Soit $\ell\in H'$ (le dual de $H$). Montrer que $\ell\circ K$ est continue.
2. Montrer que $K$ est continue.

Exercice 2. (8 points)

Soit $H$ un espace de Hilbert réel ou complexe et $V$ un sous-espace fermé de $H$. Le projecteur orthogonal $P_V$ est caractérisé par $P_V(x)\in V$ et $\langle P_V(x)-x,y\rangle=0$ pour tout $y\in V$.

1. Montrer que $x\in V$ si et seulement si $P_V(x)=x$.
2. Montrer que $V^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de $V$ et que $x=P_V(x)+(I-P_V)(x)$, donc $H=V\oplus V^\perp$.
3. Montrer que $P_V\in\mathcal L(H)$ et que $\|P_V\|=1$ pour $V\ne\{0\}$.
4. Montrer que $P_V$ est auto-adjoint et $P_V^2=P_V$.
5. Soit $A\in\mathcal L(H)$ auto-adjoint tel que $A^2=A$. Montrer que $A$ est un projecteur sur un sous-espace fermé de $H$.

Exercice 3. (7 points)

1. Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $x\in[a,b]$,

$$\int_a^x\!\int_a^{x_1}\!\cdots\!\int_a^{x_{n-1}}f(x_n)\,dx_n\cdots dx_1=\frac1{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1}f(t)\,dt.$$

2. Soit le problème $y''(x)=f(x,y(x))$, $x\in]a,b[$, $y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$. Montrer que toute solution classique vérifie

$$y(x)=\alpha+\frac{(\beta-\alpha)(x-a)}{b-a}+\int_a^bG(x,t)f(t,y(t))\,dt,$$

avec

$$G(x,t)=\begin{cases}\frac{(x-b)(t-a)}{b-a},&a\le t\le x\le b,\\\frac{(x-a)(t-b)}{b-a},&a\le x\le t\le b.\end{cases}$$