مسابقة دكتوراه 2016 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 02

Exercice 1. (6 points)

Soit $f$ une fonction réelle continue. Considérons

$$x''+x=f(t).$$

1. Écrire l'équation sous forme d'une équation différentielle affine du premier ordre.
2. Calculer la résolvante du système linéaire associé.
3. Exprimer $x(t)$ et $x'(t)$ en fonction de leurs valeurs en $0$ et de $f(t)$.
4. On suppose $f$ $2\pi$-périodique et $\int_0^{2\pi}\sin(s)f(s)ds=\int_0^{2\pi}\cos(s)f(s)ds=0$. Montrer que toute solution est $2\pi$-périodique.

Exercice 2. (7 points)

On considère

$$\begin{cases}x'=y,\\y'=-ay-x^3-x^5,\end{cases}\qquad a>0.$$

1. Étudier la stabilité et la stabilité asymptotique du système linéarisé en $(0,0)$.
2. Pour $F(x,y)=\frac{y^2}{2}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{6}$, montrer que $t\mapsto F(x(t),y(t))$ est décroissante, établir la stabilité de l'origine et conclure.

Exercice 3. (7 points)

Considérons

$$\begin{cases}\dot x=x-y-x^3-xy^2,\\\dot y=x+y-x^2y-y^3,\\\dot z=az.\end{cases}$$

1. Montrer que $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,0)^T$ est une orbite périodique.
2. Réécrire le système en coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$.
3. Résoudre le système obtenu.
4. Donner l'application de Poincaré associée à $\gamma$, calculer sa dérivée en $(1,0)$ et en déduire la stabilité de $\gamma$.